《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 如果要把体积为 $15\ cm^3$ 的面团做成拉面,你能写出面条的总长度 $y(cm)$ 与面条粗细(横截面积)$S(cm^2)$ 的函数关系式吗?

答案： 由题意知，面团的体积等于面条的横截面积乘以总长度，即$V = S × y$。
已知体积$V = 15\ cm^3$，所以$15 = S × y$，变形可得$y = \frac{15}{S}$（$S ＞ 0$）。
函数关系式为$y = \frac{15}{S}$。

2. 你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗?

答案： 1. 路程一定时，速度与时间成反比例关系，设路程为$s$（$s\neq0$），速度为$v$，时间为$t$，则$v=\frac{s}{t}$。
2. 总价一定时，单价与数量成反比例关系，设总价为$k$（$k\neq0$），单价为$p$，数量为$n$，则$p=\frac{k}{n}$。
3. 长方形面积一定时，长与宽成反比例关系，设面积为$S$（$S\neq0$），长为$a$，宽为$b$，则$a=\frac{S}{b}$。

3. 常见的与实际相关的反比例关系:
(1)面积一定时,矩形的与成反比例;
(2)面积一定时,三角形的一边长与成反比例;
(3)体积一定时,柱(锥)体的与成反比例;
(4)工作总量一定时,与工作时间成反比例;
(5)一定时,单价与商品的件数成反比例;
(6)路程一定时,和成反比例.

答案：
(1) 长，宽
(2) 该边上的高
(3) 底面积，高
(4) 工作效率
(5) 总价
(6) 速度，时间

1. 在一定的范围内,某种物品的需求量与供应量成反比例.现已知当需求量为 $500$ 吨时,市场供应量为 $10000$ 吨.当市场供应量为 $16000$ 吨时,需求量是.

答案： 312.5

2. 一个直角三角形的两直角边的长度分别为 $x,y$,其面积为 $2$,则 $y$ 与 $x$ 之间的关系用图象表示大致是().

答案： C

【例】市煤气公司要在地下修建一个容积为 $104\ m^3$ 的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 $S(m^2)$ 与其深度 $d(m)$ 有怎样的函数关系?
(2) 公司决定把储存室的底面积 $S$ 定为 $500\ m^2$,施工队施工时应该向下掘进多深?
(3) 当施工队按(2)中的计划掘进到地下 $15\ m$ 时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为 $15\ m$.相应地,储存室的底面积应改为多少? (结果保留小数点后两位.)
想一想:第(2)问和第(3)问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系?

答案：
(1) 圆柱体的体积 $V$ 公式为 $V = S × d$，其中 $S$ 为底面积，$d$ 为深度。
由题意，储存室的容积 $V = 10^4\ m^3$。
因此，$S × d = 10^4$。
从中解出 $S$，得到函数关系：
$S = \frac{10^4}{d} \quad (d ＞ 0)$
(2) 将 $S = 500\ m^2$ 代入 $S = \frac{10^4}{d}$，
$500 = \frac{10^4}{d}$
解得：
$d = 20\ m$
所以施工队施工时应该向下掘进 $20\ m$。
(3) 将 $d = 15\ m$ 代入 $S = \frac{10^4}{d}$，
$S = \frac{10^4}{15} \approx 666.67\ m^2$
所以储存室的底面积应改为 $666.67\ m^2$。
想一想：第
(2)问和第
(3)问实际上是分式方程和代数式求值的具体应用。第
(2)问通过给定的底面积求解深度，是一个分式方程的求解问题；第
(3)问则是根据新的深度值求解底面积，是一个代数式的求值问题。