《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例1】下列哪些数是方程 $2x^{2} + 10x + 12 = 0$ 的根？
$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$，$4$

答案： 答题卡：
将 $x = -4$ 代入方程：
$2×(-4)^{2} + 10×(-4) + 12 = 32 - 40 + 12 = 4 \neq 0$，
所以 $x = -4$ 不是方程的根。
将 $x = -3$ 代入方程：
$2×(-3)^{2} + 10×(-3) + 12 = 18 - 30 + 12 = 0$，
所以 $x = -3$ 是方程的根。
将 $x = -2$ 代入方程：
$2×(-2)^{2} + 10×(-2) + 12 = 8 - 20 + 12 = 0$，
所以 $x = -2$ 是方程的根。
对于其他给定的数（$-1, 0, 1, 2, 3, 4$），代入方程后结果均不为0，因此它们不是方程的根。
综上所述，方程 $2x^{2} + 10x + 12 = 0$ 的根是 $x = -3$ 和 $x = -2$。

【例2】若 $x = 3$ 是方程 $x^{2} + kx = 0$ 的一个根，试求常数 $k$ 的值。

答案： 将 $x = 3$ 代入方程 $x^{2} + kx = 0$ 中，得：
$3^{2} + 3k = 0$，
即$9 + 3k = 0$，
移项并化简，得：
$3k = -9$，
除以3，得：
$k = -3$。
所以，常数 $k$ 的值为 $-3$。

变式：若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2)x^{2} + (2m - 1)x + m^{2} - 4 = 0$ 的一个根是0，则 $m$ 的值为。

答案： 因为方程 $(m - 2)x^{2} + (2m - 1)x + m^{2} - 4 = 0$ 的一个根是 $0$，
将 $x = 0$ 代入方程，得到：
$m^{2} - 4 = 0$，
解这个方程，得到：
$m = \pm 2$，
由于 $m - 2 \neq 0$（因为方程是一元二次方程，二次项系数不能为 $0$），
所以 $m = -2$。
故答案为：$-2$。

1. 下列哪些数是 $x^{2} - x - 6 = 0$ 的根？
$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$，$4$

答案： 1 -2和3

2. 试写出 $x^{2} - 2x = 0$ 的根，你能写几个？

答案： 2 0和2

3. 如果 $x^{2} - 81 = 0$，那么 $x^{2} - 81 = 0$ 的两个根分别是 $x_{1} =$9，$x_{2} =$-9。

答案： 3 9 -9

4. 已知一元二次方程 $3x^{2} - 9x + m = 0$ 的一个根是 $x = 1$，则 $m$ 的值为6。

答案： 4 6

1. 一元二次方程的解与一元一次方程的解有何区别与联系？

答案： 区别：解的个数不同（一元一次方程1个，一元二次方程0个、1个或2个）；联系：均为使方程成立的未知数的值。

2. 在一元二次方程的试解中，你积累了哪些方法和经验？

答案： 上述方法和经验总结

1. 方程 $x(x - 1) = 2$ 的两根为(D)。

A.$x_{1} = 0$，$x_{2} = 1$
B.$x_{1} = 0$，$x_{2} = -1$
C.$x_{1} = 1$，$x_{2} = 2$
D.$x_{1} = -1$，$x_{2} = 2$

答案： 1 D

2. 已知 $x = 2$ 是关于 $x$ 的方程 $ax^{2} + 3x + 1 = 0$ 的一个根，那么 $a =$ (C)。

A.$\frac{5}{3}$
B.$\frac{7}{4}$
C.$-\frac{7}{4}$
D.$-\frac{5}{4}$

答案： 2 C

3. (1) 若 $x^{2} - 2x = 2$，则 $2x^{2} - 4x + 3 =$7。
(2) 已知 $m$ 是方程 $x^{2} - x - 6 = 0$ 的一个根，则代数式 $m^{2} - m =$6。

答案： 3
(1)7
(2)6

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + ax + b = 0$ 有一个非零根 $-b$，则 $a - b$ 的值为1。

答案： 4 1

5. 定义：如果一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ 满足 $a + b + c = 0$，那么我们称这个方程为“凤凰”方程。已知 $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ 是“凤凰”方程，则该方程一定有一个根为x=1。

答案： 5 x=1

6.
由上表可判断方程 $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0$，$a$，$b$，$c$ 为常数)的一个解的范围为(C)。

A.$3 ＜ x ＜ 3.23$
B.$3.23 ＜ x ＜ 3.24$
C.$3.24 ＜ x ＜ 3.25$
D.$3.25 ＜ x ＜ 3.26$

答案： 6 C