《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

6. 已知抛物线 $y=(x - m)^{2}-(x - m)$，其中 $m$ 是常数.
(1) 求证：不论 $m$ 为何值，该抛物线与 $x$ 轴一定有两个公共点.
(2) 已知该抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{5}{2}$.
①求该抛物线的函数解析式.
②把该抛物线沿 $y$ 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与 $x$ 轴只有 $1$ 个公共点？

答案： 6.
(1)证明:
∵y=(x - m)² - (x - m)=x² - (2m + 1)x + m² + m,
∴Δ=[-(2m + 1)]² - 4(m² + m)=1 ＞ 0,
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点.
(2)①
∵x = -$\frac{-(2m + 1)}{2}$ = $\frac{5}{2}$,
∴m = 2.
∴抛物线的解析式为y = x² - 5x + 6.
　②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有1个公共点,则平移后抛物线的解析式为y = x² - 5x + 6 + k,
∵抛物线y = x² - 5x + 6 + k与x轴只有1个公共点，
∴Δ = 5² - 4(6 + k)=0,
∴k = $\frac{1}{4}$,即把该抛物线沿y轴向上平移$\frac{1}{4}$个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有1个公共点.

7. 如图，已知抛物线 $y = ax^{2}+bx - 4$ 经过 $A(-3,0)$，$B(5,-4)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，连接 $AB$，$AC$，$BC$.
(1) 求抛物线的表达式.
(2) 求证：$AB$ 平分 $\angle CAO$.
(3) 抛物线的对称轴上是否存在点 $M$，使得 $\triangle ABM$ 是以 $AB$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

答案：
7.
(1)y = $\frac{1}{6}$x² - $\frac{5}{6}$x - 4.
(2)连接BC,计算AC与BC长度，
　可得AC = BC = 5,
∴∠CAB = ∠CBA.
∵BC//x轴,
∴∠CBA = ∠BAO,
∴∠CAB = ∠BAO,
∴AB平分∠CAO.
　　　　　
(3)存在.
∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形，
∴∠BAM = 90°或∠ABM = 90°.
　①当∠BAM = 90°时,AB² + AM² = BM²,
　即80 + m² + $\frac{121}{4}$ = m² + 8m + $\frac{89}{4}$,
　解得m = 11,
∴M($\frac{5}{2}$,11).
　②当∠ABM = 90°时,AB² + BM² = AM²,
　即80 + m² + 8m + $\frac{89}{4}$ = m² + $\frac{121}{4}$,
　解得m = -9,
∴M($\frac{5}{2}$,-9).
综上所述,抛物线的对称轴上存在点M,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形,点M的坐标为($\frac{5}{2}$,11)或($\frac{5}{2}$,-9).