《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 实践探究：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，其对称轴是，对称轴有条。

答案： 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次后，发现圆的两部分能够完全重合。
结论：圆是轴对称图形，其对称轴是 任意一条直径所在的直线 ，对称轴有 无数 条。

2. 如图，CD是过圆心O的任意一条直线，你能否证明圆是轴对称图形？
【分析】欲证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上即可。

答案： 证明：设CD为⊙O的任意一条直径，直线CD为对称轴。
1. 在⊙O上任取一点A（不与C、D重合），过A作AE⊥CD于E，延长AE至A'，使EA'=AE，则A'为A关于直线CD的对称点。
2. 在△OAE与△OA'E中，
∵AE=A'E，∠OEA=∠OEA'=90°，OE=OE，
∴△OAE≌△OA'E（SAS），
∴OA'=OA。
3.
∵OA为⊙O半径，
∴OA'=半径，故A'在⊙O上。
4. 若A与C（或D）重合，则A关于CD的对称点为自身，仍在⊙O上。
综上，⊙O上任意点关于直线CD的对称点均在⊙O上，
∴圆是轴对称图形，任意直径所在直线为其对称轴。

3. 除了利用轴对称证明线段相等，我们还可以用逻辑思维证明(阅读以下内容，并填空)。
已知：直径CD、弦AB，且CD⊥AB垂足为点M。
求证：AM = BM，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
【分析】要证AM = BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等。因此，只要连接OA，OB或AC，BC即可。
证明：如图，连接OA，OB，则OA = OB。

在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵，
，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM()，
∴AM = ，
∴点和点关于CD对称。
∵⊙O关于CD对称，
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$重合，$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{BD}$重合。
∴，，。

答案： OA=OB，OM=OM，HL，BM，A，B，AM=BM，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$

4. 垂径定理：。
符号语言：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE = DE，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$。

答案： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

5. 垂径定理的题设和结论的分析：垂径定理可改述为“一条直线若满足①过圆心，②垂直于弦，则可以推出③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧”。这个定理的应用非常广泛，为证明线段相等、弧相等提供了很重要的依据，用时知“二”推“三”很方便。

答案： 垂径定理题设：一条直线满足①过圆心，②垂直于弦。
垂径定理结论：该直线③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。
应用方法：知“二”（题设中的两个条件）推“三”（结论中的三个结论）。

6. 进一步，我们还可以得到推论：平分弦()的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
思考：上述推论中，为什么特别强调括号里面的部分？

答案： （此处假设题目是让填相关内容理解，若题目是这种思考题形式无选项，若非要按要求给答案形式）无选项对应，若按思考回答理解，可视为对条件理解题无ABCD类答案，若一定要按格式可填无合适选项类（但原题并非此形式），这里按原题要求本质应明确强调原因，按答案格式要求这里勉强对应无（实际题目并非选择题）。若题目是补充完整推论括号内容，答案为非直径 。

【例1】如图，在⊙O中，弦AB为8cm，圆心O到AB的距离为3cm。求⊙O的半径。

答案： 设圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的垂足为 $E$，则 $OE$ 为圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离，即 $OE = 3cm$。
根据垂径定理，弦的中垂线过圆心，所以 $AE = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4cm$。
在直角三角形 $OEA$ 中，利用勾股定理，有：
$OA = \sqrt{OE^{2} + AE^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5（cm）$。
故圆$O$的半径为$5cm$。