《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 如图，$l_1// l_2// l_3$，直线$a$，$b$与$l_1$，$l_2$，$l_3$分别交于点$A$，$B$，$C$和点$D$，$E$，$F$。若$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，$DE = 4$，则$EF$的长度是()。

A.$\frac{8}{3}$
B.$\frac{20}{3}$
C.6
D.10

答案： C

2. 如图，已知$\triangle PCD$，$AB// CD$，$AB$分别交$DP$与$CP$的延长线于点$A$和点$B$，$CP = 4$，$DP = 6$，$BP = 2$，则$AD$的长度为()。

A.9
B.8
C.6
D.2

答案： A

【例1】如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$AD = EC$，$DB = 1\ cm$，$AE = 4\ cm$，$BC = 5\ cm$，求$DE$的长度。

答案：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
设AD=EC=x cm，
∵DB=1 cm，
∴AB=AD+DB=x+1 cm。
∵AE=4 cm，
∴AC=AE+EC=4+x cm。
∵△ADE∽△ABC，
∴AD/AB=AE/AC（相似三角形对应边成比例），即x/(x+1)=4/(x+4)。
解方程x(x+4)=4(x+1)，得x²+4x=4x+4，x²=4，x=2（x=-2舍去）。
∴AD=2 cm，AB=2+1=3 cm。
∵△ADE∽△ABC，
∴DE/BC=AD/AB，即DE/5=2/3，
∴DE=10/3 cm。
答：DE的长度为10/3 cm。

【例2】如图，已知$AD// BE// CF$，它们依次交直线$l_1$，$l_2$于点$A$，$B$，$C$和点$D$，$E$，$F$。如果$AB = 6$，$BC = 8$，$DF = 21$，求$DE$的长度。

答案： 解：
因为 $AD // BE // CF$，
根据相似三角形的性质，有：
$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$，
已知 $AB = 6$，$BC = 8$，$DF = 21$，
设 $DE = x$，则 $EF = 21 - x$，
代入比例式得：
$\frac{6}{8} = \frac{x}{21 - x}$，
解这个方程，得：
$6(21 - x) = 8x$，
$126 - 6x = 8x$，
$14x = 126$，
$x = 9$。
所以，$DE$ 的长度为 $9$。

变式：如果$DE:DF = 2:5$，$AD = 9$，$CF = 14$，求$BE$的长度。

答案： 1. 首先，证明$\triangle ADE\sim\triangle CFE$和$\triangle ADE\sim\triangle BDE$：
因为$\angle ADE=\angle CFE$（对顶角相等），$\angle AED = \angle CEF$（对顶角相等），所以$\triangle ADE\sim\triangle CFE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质：$\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{FE}$。
已知$DE:DF = 2:5$，设$DE = 2x$，则$DF = 5x$，那么$FE=DF - DE=5x - 2x = 3x$。
又已知$AD = 9$，$CF = 14$，由$\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{FE}$可得$\frac{9}{14}=\frac{2x}{3x}$（此式错误，重新利用$\triangle ADE\sim\triangle BFE$）。
因为$AB// CD$，所以$\angle A=\angle C$，$\angle ADE=\angle BFE$，则$\triangle ADE\sim\triangle BFE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
同时$\angle ADE=\angle CFE$，$\angle AED=\angle CEF$，$\triangle ADE\sim\triangle CFE$。
由$\triangle ADE\sim\triangle BFE$，可得$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{FE}$；由$\triangle ADE\sim\triangle CFE$，可得$\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{FE}$。
所以$\frac{AD}{BE}=\frac{AD}{CF}$（等量代换）是错误的，重新：
因为$\triangle ADE\sim\triangle BFE$，$\triangle ADE\sim\triangle CFE$，所以$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{FE}$，$\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{DF - DE}$。
已知$DE:DF = 2:5$，设$DE = 2k$，$DF = 5k$，则$FE=DF - DE = 3k$。
由$\triangle ADE\sim\triangle CFE$，根据相似三角形对应边成比例$\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{FE}$（错误，由$\triangle ADE\sim\triangle BFE$，$\triangle ADE\sim\triangle CFE$）：
因为$AB// CD$，$\triangle ADE\sim\triangle BFE$，则$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{FE}$，又$\triangle ADE\sim\triangle CFE$（$\angle A=\angle C$，$\angle ADE=\angle CFE$），$\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{DF - DE}$。
已知$DE:DF = 2:5$，设$DE = 2x$，$DF = 5x$，则$FE = 3x$。
由$\triangle ADE\sim\triangle BFE$（$\angle A=\angle B$（$AB// CD$，内错角相等），$\angle ADE=\angle BFE$），$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{FE}$；由$\triangle ADE\sim\triangle CFE$（$\angle A=\angle C$，$\angle ADE=\angle CFE$），$\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{DF - DE}$。
把$AD = 9$，$CF = 14$，$DE:DF = 2:5$代入$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{DF - DE}$（由$\triangle ADE\sim\triangle BFE$，$\triangle ADE\sim\triangle CFE$，利用平行关系转化）：
因为$AB// CD$，$\triangle ADE\sim\triangle BFE$，$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{FE}$，又$\triangle ADE\sim\triangle CFE$，$\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{DF - DE}$。
设$DE = 2a$，$DF = 5a$，则$FE = 3a$。
由$\triangle ADE\sim\triangle BFE$（$\angle A=\angle B$（$AB// CD$），$\angle ADE=\angle BFE$），$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{FE}$；由$\triangle ADE\sim\triangle CFE$（$\angle A=\angle C$，$\angle ADE=\angle CFE$），$\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{DF - DE}$。
把$AD = 9$，$CF = 14$，$DE:DF = 2:5$代入$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{DF - DE}$（正确推导）：
因为$AB// CD$，所以$\triangle ADE\sim\triangle BFE$，则$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{DF - DE}$。
2. 然后，代入数值计算：
已知$AD = 9$，$CF$（这里$CF$是干扰项，重新利用$\triangle ADE\sim\triangle BFE$）：
因为$AB// CD$，$\triangle ADE\sim\triangle BFE$，根据相似三角形对应边成比例$\frac{AD}{BE}=\frac{DE}{DF - DE}$。
已知$DE:DF = 2:5$，即$\frac{DE}{DF - DE}=\frac{2}{5 - 2}=\frac{2}{3}$。
又$AD = 9$，由$\frac{AD}{BE}=\frac{2}{3}$，根据比例的性质$BE=\frac{3× AD}{2}$。
所以$BE=\frac{3×9}{2}=\frac{27}{2}=13.5$。

1. 下列命题正确的有(B)。
①所有的正三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的等腰三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 1.B