《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

[问题 2] 探究抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的顶点坐标及对称轴.
1. 阅读以下内容，并回答问题：
$\begin{aligned}y &= ax^{2}+bx + c\\&= a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)①\\&= a\left[x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}+\frac{c}{a}\right]②\\&= a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a^{2}}\right]③\\&= a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}\end{aligned}$
(1) 由①到②所用的数学方法是.
(2) 由②到③运用了公式.
2. 由 $ y = ax^{2}+bx + c $ 转化为 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 的形式后，抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的顶点坐标为，对称轴为.

答案： 1.
(1)配方法
(2)完全平方
2. $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a}\right)$；直线$x=-\frac{b}{2a}$

【例 1】已知二次函数 $ y = x^{2}+4x + 5 $.
(1) 写出该抛物线的顶点坐标、对称轴.
(2) 当 $ x $ 取何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(3) 函数值 $ y $ 有最大值还是最小值？此时 $ x $ 的值为多少？
(4) 当 $ -3 \leq x \leq 2 $ 时，求 $ y $ 的最大值与最小值.
(5) 当 $ -1 \leq x \leq 2 $ 时，求 $ y $ 的最大值与最小值.
(6) 求出经过点 $ (2,3) $ 和上述二次函数图象顶点的直线解析式.

答案：
(1) 对于二次函数 $y = x^{2} + 4x + 5$，配方得 $y = (x + 2)^{2} + 1$。
顶点坐标为 $(-2, 1)$，对称轴为直线 $x = -2$。
(2) 由于 $a = 1 ＞ 0$，抛物线开口向上。
当 $x ＜ -2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
(3) 由于 $a = 1 ＞ 0$，函数值 $y$ 有最小值。
当 $x = -2$ 时，$y$ 取得最小值。
(4) 在区间 $[-3, -2]$ 上，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，在区间 $[-2, 2]$ 上，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
当 $x = -2$ 时，$y$ 最小，为 1；
当 $x = 2$ 时，$y$ 最大，为 17。
(5) 在区间 $[-1, 2]$ 上，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
当 $x = -1$ 时，$y$ 最小，为 2；
当 $x = 2$ 时，$y$ 最大，为 17。
(6) 已知顶点坐标为 $(-2, 1)$，另一点为 $(2, 3)$。
设直线解析式为 $y = kx + b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}-2k + b = 1 \\2k + b = 3\end{cases}$
解得 $k = \frac{1}{2}$，$b = 2$。
直线解析式为 $y = \frac{1}{2}x + 2$。

【例 2】已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的 $ x $，$ y $ 的部分对应值如下表：

下列说法正确的是().

A.抛物线开口向下
B.抛物线的对称轴是直线 $ x = \frac{3}{2} $
C.函数的最小值是 $ -6 $
D.当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大

答案： B

1. 若抛物线 $ y = 2x^{2}-bx + 3 $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $，则 $ b $ 的值为4.

答案： 1. $b = 4$

2. 抛物线 $ y = -2x^{2}-4x + 8 $ 的开口向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,10).

答案： 2. 下 直线 $x = -1$ $(-1,10)$