《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例 1】已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，当 $ x = 2 $ 时，$ y = 6 $.
(1) 写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
(2) 当 $ x = 3 $ 时，求 $ y $ 的值.

答案：
(1) 设反比例函数关系式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k \neq 0 $），
将 $ x = 2 $，$ y = 6 $ 代入，得 $ 6 = \frac{k}{2} $，解得 $ k = 12 $，
故函数关系式为 $ y = \frac{12}{x} $。
(2) 当 $ x = 3 $ 时，$ y = \frac{12}{3} = 4 $。

变式：已知 $ (y - 2) $ 与 $ x $ 成反比例，当 $ x = 3 $ 时，$ y = 1 $. 问：$ y $ 与 $ x $ 间的函数关系式是什么？

答案： 设$y - 2 = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$，$x\neq 0$）。
把$x = 3$，$y = 1$代入$y - 2 = \frac{k}{x}$，得$1 - 2=\frac{k}{3}$。
即$-1=\frac{k}{3}$，解得$k = - 3$。
把$k = - 3$代入$y - 2 = \frac{k}{x}$，得$y - 2=-\frac{3}{x}$，$y = 2-\frac{3}{x}$（$x\neq 0$）。
故$y$与$x$间的函数关系式是$y = 2-\frac{3}{x}(x\neq 0)$。

【例 2】当 $ m $ 为何值时，函数 $ y = \frac{4}{x^{2m - 2}} $ 是反比例函数？求出它的函数解析式.

答案： 根据反比例函数的定义，一般地，形如$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）的函数叫做反比例函数。
对于给定的函数$y = \frac{4}{x^{2m - 2}}$，要使其为反比例函数，必须满足指数$2m - 2 = 1$。
解这个方程，得到：
$2m - 2 = 1$，
$2m = 3$，
$m = \frac{3}{2}$。
将$m = \frac{3}{2}$代入原函数，得到反比例函数的解析式为：
$y = \frac{4}{x}$。
故答案为：当$m = \frac{3}{2}$时，函数$y = \frac{4}{x^{2m - 2}}$是反比例函数，其解析式为$y = \frac{4}{x}$。

变式：若函数 $ y = 4 \cdot x^{2m - 2} $ 是反比例函数，则 $ m = $$ $.

答案： $\frac{1}{2}$

1. 下列哪个等式中的 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数？指出常数 $ k $ 的值.
(1) $ y = -\frac{x}{3} $ (2) $ xy = \sqrt{2} $
(3) $ \frac{y}{2x} = 1 $ (4) $ y = \frac{1}{\sqrt{2}x + 1} $
(5) $ y = -\frac{\sqrt{3}}{4x} $ (6) $ y = \frac{1}{x^2} $

答案：
(1) 不是反比例函数。
(2) 是反比例函数，由$xy = \sqrt{2}$得$y=\frac{\sqrt{2}}{x}$，$k = \sqrt{2}$。
(3) 不是反比例函数，由$\frac{y}{2x}=1$得$y = 2x$。
(4) 不是反比例函数。
(5) 是反比例函数，$y=-\frac{\sqrt{3}}{4x}=-\frac{\sqrt{3}/4}{x}$，$k=-\frac{\sqrt{3}}{4}$。
(6) 不是反比例函数。

2. 已知函数 $ y = (m - 1)x^{m^2 + 2m - 4} $ 是反比例函数，求 $ m $ 的值.

答案： 2 $m = -3$

3. 已知 $ y $ 与 $ x^2 $ 成反比例关系，并且当 $ x = 3 $ 时，$ y = 4 $.
(1) 求出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式；
(2) 当 $ x = 1.5 $ 时，求 $ y $ 的值；
(3) 当 $ y = 6 $ 时，求 $ x $ 的值.

答案： 3
(1)$y = \frac{36}{x^{2}}$
(2)$16$
(3)$\pm \sqrt{6}$

1. 下列实例中，$ x $ 和 $ y $ 成反比例函数关系的有(B).
① $ x $ 人共饮水 $ 10 kg $，平均每人饮水 $ y kg $；②底面半径为 $ x m $、高为 $ y m $ 的圆柱形水桶的体积为 $ 10 m^3 $；③用铁丝做一个圆，铁丝的长度为 $ x cm $，做成的圆的半径为 $ y cm $；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 $ x $，放满一桶水的时间为 $ y $.

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 1 B

2. 下列函数中，$ y $ 是 $ x $ 的反比例函数的是(A).

A.$ y = -\frac{1}{2x} $
B.$ y = -\frac{1}{x^2} $
C.$ y = \frac{1}{2 + x} $
D.$ y = 1 - \frac{1}{x} $

答案： 2 A