《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 下列 4 个图案中,既包含图形的旋转又包含图形的轴对称的是().

答案： D

2. 两个边长为 1 的正方形如图所示,让一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合,不难知道重合部分的面积为$\frac{1}{4}$.现把其中一个正方形固定不动,把另一个正方形绕其中心旋转.在旋转过程中,两个正方形重叠部分的面积是否发生变化? 说明理由.

答案： 重叠部分的面积不发生变化，始终为$\frac{1}{4}$。
理由如下：
设固定正方形的中心为$O$，过$O$分别作该正方形两边的垂线，垂足为$M$、$N$，则$OM=ON=\frac{1}{2}$（正方形边长为1，中心到边的距离为边长的一半），且$OM\perp ON$。
当另一个正方形绕$O$旋转时，设其两边分别交固定正方形的两边于$E$、$F$。
因为旋转角相等，所以$\angle MOE = \angle NOF$。
在$\triangle OME$和$\triangle ONF$中：
$\angle OME = \angle ONF = 90°$，$OM = ON$，$\angle MOE = \angle NOF$，
所以$\triangle OME \cong \triangle ONF$（ASA）。
因此，$S_{\triangle OME} = S_{\triangle ONF}$，
故重叠部分面积$S_{四边形OEBF} = S_{矩形OMBN} = OM × ON = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
综上，旋转过程中重叠部分面积不变。
结论：重叠部分面积不发生变化。

3. 选择不同的、不同的旋转同一个图案,会出现不同的效果.
(1)两个旋转中,旋转中心不变,改变了,产生了的旋转效果.
(2)两个旋转中,旋转角不变,改变了,产生了的旋转效果.

答案： 旋转中心 旋转角；
(1)旋转角 不同角度；
(2)旋转中心 不同位置

4. 我们借助旋转可以设计出许多美丽的图案.

答案： 第一个图案：
该图形可以通过绕中心点顺时针或逆时针旋转 $45°$ 多次得到。
具体步骤：初始扇形绕中心点顺时针（或逆时针）旋转 $45°$，得到第二个扇形的位置；重复上述旋转过程，直至完成整个图形的生成，共旋转 $8$ 次（包括初始位置）。
第二个图案：
该图形可以通过绕中心点顺时针或逆时针旋转 $36°$ 多次得到。
具体步骤：初始扇形绕中心点顺时针（或逆时针）旋转 $36°$，得到第二个扇形的位置；重复上述旋转过程，直至完成整个图形的生成，共旋转 $10$ 次（包括初始位置）。

阅读教材第 60 页的内容,然后回答问题.
如图,$E$是正方形$ABCD$中$CD$边上任意一点,以点$A$为中心,把$\triangle ADE$顺时针旋转$90^{\circ}$,画出旋转后的图形.

【分析】关键是确定$\triangle ADE$的 3 个顶点的对应点,即它们旋转后的位置.
解:$\because$点$A$是旋转中心,
$\therefore$它的对应点是.
在正方形$ABCD$中,
$AD = AB,\angle DAB =$,
$\therefore$旋转后点$B$和点$D$重合.
设点$E$的对应点为$E'$.
$\because \triangle ADE$$\triangle ABE'$,
$\therefore \angle ABE' =$$=$,
$BE' =$,
因此,在$CB$的延长线上截取点$E'$,使$BE' =$,则$\triangle ABE'$为旋转后的图形.
【归纳总结】旋转作图的基本步骤:(1)明确旋转三要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度;(2)找出关键点;(3)作出关键点的对应点;(4)作出新图形;(5)写出结论.

答案： $\because$点$A$是旋转中心,
$\therefore$它的对应点是$A$.
在正方形$ABCD$中,
$AD = AB,\angle DAB = 90°$,
$\therefore$旋转后点$B$和点$D$重合.
设点$E$的对应点为$E'$.
$\because \triangle ADE\cong\triangle ABE'$,
$\therefore \angle ABE'=\angle ADE=90°$,
$BE' = DE$,
因此,在$CB$的延长线上截取点$E'$,使$BE' = DE$,则$\triangle ABE'$为旋转后的图形.