《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例2】工人师傅用一块长为 $ 10 dm $、宽为 $ 6 dm $ 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计).
(1) 在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,用虚线表示折痕. 当长方体底面面积为 $ 12 dm^{2} $ 时,裁掉的正方形边长是多少?
(2) 若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 $ 5 $ 倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为 $ 0.5 $ 元,底面每平方分米的费用为 $ 2 $ 元. 当裁掉的正方形边长为多少时,总费用最低? 最低费用为多少?

答案：
(1) 裁掉的正方形边长是 $ 2 \, dm $；
(2) 当边长为 $ 2.5 \, dm $ 时，总费用最低，最低费用为 $ 25 \, 元 $。

1. 李大爷要围一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为 $ 24 m $. 要围成的菜园是如图所示的矩形 $ ABCD $. 设 $ BC $ 边的长为 $ x m $, $ AB $ 边的长为 $ y m $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式是().


A.$ y = -2x + 24(0 ＜ x ＜ 12) $
B.$ y = -\dfrac{1}{2}x + 12(0 ＜ x ＜ 24) $
C.$ y = 2x - 24(0 ＜ x ＜ 12) $
D.$ y = \dfrac{1}{2}x - 12(0 ＜ x ＜ 24) $

答案： 1.B

2. 如图,用 $ 8 m $ 长的铝合金条制成矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是().


A.$ \dfrac{64}{25} m^{2} $
B.$ \dfrac{4}{3} m^{2} $
C.$ \dfrac{8}{3} m^{2} $
D.$ 4 m^{2} $

答案： 2.C

3. 如图,四边形 $ ABCD $ 的两条对角线 $ AC $, $ BD $ 互相垂直,$ AC + BD = 10 $. 当 $ AC $, $ BD $ 的长是多少时,四边形 $ ABCD $ 的面积最大? 最大面积是多少?

答案： 3.当AC=5,BD=5时，四边形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac{25}{2}.$