《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
(1) 京沪线铁路全程为 $ 1463 km $，某列火车的平均速度 $ v(km/h) $ 随该车全程运行时间 $ t(h) $ 的变化而变化.
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 $ 1000 m^2 $ 的矩形草坪，草坪的长度 $ y(m) $ 随宽度 $ x(m) $ 的变化而变化.
(3) 已知某市的总面积为 $ 1.68 × 10^4 km^2 $，人均占有面积 $ S(km^2/人) $ 随全市总人口数 $ n(人) $ 的变化而变化.

答案：
(1) 存在函数关系。
由题意得：$v = \frac{1463}{t}$（$t ＞ 0$）。
(2) 存在函数关系。
由题意得：$y = \frac{1000}{x}$（$x ＞ 0$）。
(3) 存在函数关系。
由题意得：$S = \frac{1.68 × 10^{4}}{n}$（$n ＞ 0$）。

2. 观察以上 3 个解析式，你觉得它们有什么共同特点？

答案： 答题卡：
由题目条件（人教版数学九年级上册26.1.1反比例函数典型解析式例如$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne 0$）；$y = \frac{5}{x}$等 ），这三个（或这类）解析式的共同特点为：
1. 均由三个部分构成，分别为因变量$y$、常数$k$（$k\ne 0$）与自变量$x$，且自变量$x$位于分母位置；
2. 均可表示为形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）的形式。

1. 一般地，形如 y = \frac{k}{x} ($ k $ 是常数，$ k \neq 0 $) 的函数叫作反比例函数.
思考：反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的自变量 $ x $ 的取值范围是什么？
注意：反比例函数的解析式又可以写成 $ xy = k $ 或 $ y = kx^{-1} $ ($ k $ 是常数，$ k \neq 0 $).

答案： 1. 一般地，形如 $ y = \frac{k}{x} $ ($ k $ 是常数，$ k \neq 0 $) 的函数叫作反比例函数.

2. 下列函数关系中，哪些是反比例函数？
(1) 已知平行四边形的面积是 $ 12 cm^2 $，它的一边是 $ a cm $，这边上的高是 $ h cm $，$ a $ 与 $ h $ 的函数关系.
(2) 压强 $ p $ 一定时，压力 $ F $ 与受力面积 $ S $ 的函数关系.
(3) 某地区粮食总产量为 $ m $ 吨，该地区人均拥有粮食数量 $ y $（吨）与该地区人数 $ x $ 的函数关系.

答案：
(1) 由平行四边形面积公式 $S = a × h$，给定 $S = 12 cm^2$，则 $a = \frac{12}{h}$，
所以 $a$ 与 $h$ 的函数关系为反比例函数$a = \frac{12}{h}$。
(2) 由压强公式 $p = \frac{F}{S}$，当 $p$ 一定时，$F = p × S$，
由于$p$为常数，该函数为正比例函数，不是反比例函数。
(3) 由题意，总产量 $m$ 吨为定值，人均拥有粮食 $y = \frac{m}{x}$，
所以$y$与$x$ 的函数关系为反比例函数$y = \frac{m}{x}$。
综上，
(1)
(3)为反比例函数。