《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

3. 上题中“设绿化带的 $ BC $ 边的边长为 $ x m $”改为“绿化带的 $ CD $ 边的边长为 $ x m $”,其他不变,结果会怎样?

答案： 解$:$
∵$CD=x$　　
∴$BC=40-2x$　　
∴$y=x(40-2x)=-2x²+40x=-2(x-10)²+200$　　
∵墙长为$25m$　　
∴$0＜40-2x≤25$　　
解得$\frac{15}{2}≤x＜20$　　
∴$x=10$时$,$有最大值$,$最大值为$200$　　

4. 如图,用一段长为 $ 40 m $ 的篱笆围成一边靠墙的草坪,墙长 $ 16 m $. 当这个矩形的长和宽分别为多少时,草坪面积最大? 最大面积为多少?

答案： 设矩形与墙垂直的边长为$ x \, m $（即宽为$ x \, m $），则与墙平行的边长（即长）为$ (40 - 2x) \, m $。
1. 确定自变量取值范围
长需大于0：$ 40 - 2x ＞ 0 \implies x ＜ 20 $；
长不超过墙长16m：$ 40 - 2x \leq 16 \implies x \geq 12 $；
宽需大于0：$ x ＞ 0 $。
综上，$ x $的取值范围为$ 12 \leq x ＜ 20 $。
2. 建立面积函数
面积$ S = 长 × 宽 = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x $，此为开口向下的二次函数，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 × (-2)} = 10 $。
3. 求最大值
因对称轴$ x = 10 $在取值范围$ [12, 20) $左侧，且函数在对称轴右侧单调递减，故当$ x = 12 $时，$ S $最大。
此时，长为$ 40 - 2x = 40 - 2 × 12 = 16 \, m $，最大面积$ S = 12 × 16 = 192 \, m^2 $。
结论：当矩形的长为16m、宽为12m时，草坪面积最大，最大面积为192m²。

【例1】某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 $ 50 m $,设饲养室长 $ x(m) $,占地面积为 $ y(m^{2}) $.
(1) 如图①,当饲养室的长 $ x $ 为多少时,占地面积 $ y $ 最大?
(2) 如图②,现要求在图中所示位置留 $ 2 m $ 宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大. 小敏说:“只要饲养室的长比(1)中的长 $ 2 m $ 就行了.”请通过计算判断小敏的说法是否正确.

答案：
(1) $ 25 \, m $；
(2) 小敏的说法不正确。