《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例 1】已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示.
(1) 求这条抛物线所对应的二次函数的表达式.
(2) 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(3) 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
(4) 要使该二次函数的图象与 $ x $ 轴只有一个交点，应把该图象沿 $ y $ 轴向上平移几个单位长度？

答案：
(1)
由图象知抛物线过点$(0,3)$，$(3,0)$，且对称轴为$x = 2$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，将点代入抛物线方程得：
$\begin{cases}c = 3\\9a + 3b + c = 0\\-\frac{b}{2a}=2\end{cases}$
由$-\frac{b}{2a}=2$得$b = - 4a$，代入$9a + 3b + c = 0$，$c = 3$，可得$9a-12a + 3 = 0$，解得$a = 1$，则$b = - 4$。
所以二次函数表达式为$y = x^{2}-4x + 3$。
(2)
开口方向：向上；
对称轴：$x = 2$；
顶点坐标：$(2, - 1)$。
(3)
因为$a = 1\gt0$，所以这个函数有最小值，最小值是$-1$。
(4)
设图象沿$y$轴向上平移$k$个单位长度，则$y=x^{2}-4x + 3 + k$，因为图象与$x$轴只有一个交点，所以$\Delta=(-4)^{2}-4(3 + k)=0$，即$16-12 - 4k=0$，解得$k = 1$。
应把该图象沿$y$轴向上平移$1$个单位长度。

【例 2】如图，已知抛物线 $ y = \frac{3}{8}x^2 - \frac{3}{4}x - 3 $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ A $，$ D $（$ A $ 在 $ D $ 的右侧），与 $ y $ 轴的交点为 $ C $.
(1) 直接写出点 $ A $，$ D $，$ C $ 的坐标.
(2) 若点 $ M $ 在抛物线上，使得 $ \triangle MAD $ 的面积与 $ \triangle CAD $ 的面积相等，求点 $ M $ 的坐标.

答案：
(1)
$y = 0$ 时，$\frac{3}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x - 3=0$，
$x^{2}-2x - 8 = 0$，
$(x - 4)(x+2)=0$，
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$。
因为$A$在$D$的右侧，所以$A(4,0)$，$D(-2,0)$。
$x = 0$时，$y=-3$，所以$C(0,-3)$。
(2)
设$M(x,y)$，
已知$A(4,0)$，$D(-2,0)$，则$AD=6$。
$S_{\triangle CAD}=\frac{1}{2}× AD×|OC|=\frac{1}{2}×6×3 = 9$。
因为$S_{\triangle MAD}=S_{\triangle CAD}=9$，
$S_{\triangle MAD}=\frac{1}{2}× AD×|y_{M}|$，即$\frac{1}{2}×6×|y_{M}|=9$，
解得$|y_{M}| = 3$。
当$y = 3$时，$\frac{3}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x - 3=3$，
$3x^{2}-6x - 48 = 0$，
$x^{2}-2x - 16=0$，
根据求根公式$x=\frac{2\pm\sqrt{4 + 64}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{68}}{2}=1\pm\sqrt{17}$。
当$y=-3$时，$\frac{3}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x - 3=-3$，
$\frac{3}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x=0$，
$\frac{3}{8}x(x - 2)=0$，
解得$x = 0$或$x = 2$。
所以$M$的坐标为$(1+\sqrt{17},3)$或$(1 - \sqrt{17},3)$或$(0,-3)$或$(2,-3)$。

1. 已知抛物线的顶点坐标为 $ (-2,4) $，与 $ y $ 轴的交点为 $ (0,3) $，则这个二次函数的解析式为$y = - \frac{1}{4}(x + 2)^2 + 4$.

答案： 1.$y = - \frac{1}{4}(x + 2)^2 + 4$

2. 用描点法画二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象时，由下表中的信息可知：当 $ x = 3 $ 时，函数值 $ y = $-4.

答案： 2.$-4$

3. 将抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 21 $ 先向左平移 $ 2 $ 个单位长度，再向下平移 $ 1 $ 个单位长度，得到的解析式为(D).

A.$ y = \frac{1}{2}(x - 8)^2 + 5 $
B.$ y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 5 $
C.$ y = \frac{1}{2}(x - 8)^2 + 2 $
D.$ y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 2 $

答案： 3.D

4. 将抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 关于 $ y $ 轴对称，得到的抛物线的解析式为$y = -x^2 - 2x$.

答案： 4.$y = -x^2 - 2x$

5. 将抛物线 $ y = x^2 - 4x + 5 $ 绕着顶点旋转 $ 180° $，所得抛物线的解析式为$y = -(x - 2)^2 + 1$.

答案： 5.$y = -(x - 2)^2 + 1$

1. 若 $ y = ax^2 + bx + c $，则由下表中信息可知 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系是(A).

A.$ y = x^2 - 4x + 3 $
B.$ y = x^2 - 2x + 4 $
C.$ y = x^2 - 3x + 3 $
D.$ y = x^2 - 4x + 8 $

答案： 1.A