《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. (1)画出点$A$关于$x$轴的对称点$A'$；
(2)画出点$B$关于$x$轴的对称点$B'$；
(3)画出点$C$关于$y$轴的对称点$C'$；
(4)画出点$D$关于$y$轴的对称点$D'$.

答案：
解:
(1) 点 $A$ 的坐标为 $(3, 2)$，关于 $x$ 轴对称后的点 $A'$ 的坐标为 $(3, -2)$。
(2) 点 $B$ 的坐标为 $(0, 1)$，关于 $x$ 轴对称后的点 $B'$ 的坐标为 $(0, -1)$。
(3) 点 $C$ 的坐标为 $(-4, -4)$，关于 $y$ 轴对称后的点 $C'$ 的坐标为 $(4, -4)$。
(4) 点 $D$ 的坐标为 $(-4, 1)$，关于 $y$ 轴对称后的点 $D'$ 的坐标为 $(4, 1)$。

2. 填空：
(1)点$A(-2,1)$关于$x$轴的对称点为$A'($$,$$)$；
(2)点$B(0,-3)$关于$x$轴的对称点为$B'($$,$$)$；
(3)点$C(-4,-2)$关于$y$轴的对称点为$C'($$,$$)$；
(4)点$D(5,0)$关于$y$轴的对称点为$D'($$,$$)$.

答案：
@@
(1)-2,-1；
(2)0,3；
(3)4,-2；
(4)-5,0

阅读教材第$68$页的内容，然后回答问题.
1. 如图，已知$A(3,2)$，$B(-3,2)$，$C(3,0)$.

(1)在直角坐标系中画出点$A$，$B$，$C$关于原点的对称点$A'$，$B'$，$C'$.
(2)点$A(3,2)$关于原点的对称点为$A'($$,$$)$；
点$B(-3,2)$关于原点的对称点为$B'($$,$$)$；
点$C(3,0)$关于原点的对称点为$C'($$,$$)$.
【归纳总结】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号$ $$$，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'($$,$$)$.
2. 如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与$\triangle ABC$关于原点对称的图形.

反思：解决这类题的关键是什么？解决该题的步骤是什么？

答案：
(1) 在直角坐标系中：$A'$ 坐标为 $(-3, -2)$，$B'$ 坐标为 $(3, -2)$，$C'$ 坐标为 $(-3, 0)$。在坐标系中标出这些点即可。
(2) 点 $A(3,2)$ 关于原点的对称点为 $A'(-3, -2)$；点 $B(-3,2)$ 关于原点的对称点为 $B'(3, -2)$；点 $C(3,0)$ 关于原点的对称点为 $C'(-3, 0)$。【归纳总结】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 $P(x, y)$ 关于原点的对称点为 $P'(-x, -y)$。
@@1. 由图可得：A(-4,1)，B(-2,-1)，C(-3,2)。2. 关于原点对称的点的坐标特点：横、纵坐标均互为相反数。3. 则A、B、C关于原点对称的点的坐标分别为：A'(4,-1)，B'(2,1)，C'(3,-2)。4. 在坐标系中描出点A'、B'、C'，顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'即为所求。反思：关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征；步骤是先确定原图形各顶点坐标，再根据对称特征求出对应点坐标，最后描点连线得到对称图形。

【例$1$】已知点$P(2a + b,-3a)$与点$P'(8,b + 2)$关于原点对称，求$a$，$b$的值.

答案： 因为点$P(2a + b,-3a)$与点$P'(8,b + 2)$关于原点对称，所以它们的横、纵坐标分别互为相反数。
可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = -8 \\ -3a = -(b + 2) \end{cases}$
由第二个方程化简得：$-3a = -b - 2$，即$3a - b = 2$
将第一个方程$2a + b = -8$与$3a - b = 2$相加：
$2a + b + 3a - b = -8 + 2$
$5a = -6$
$a = -\frac{6}{5}$
把$a = -\frac{6}{5}$代入$2a + b = -8$：
$2×(-\frac{6}{5}) + b = -8$
$-\frac{12}{5} + b = -8$
$b = -8 + \frac{12}{5}$
$b = -\frac{40}{5} + \frac{12}{5}$
$b = -\frac{28}{5}$
$a=-\frac{6}{5}$，$b=-\frac{28}{5}$