《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 将第 1 题中的问题反过来, 如果直线 $l$ 是 $\odot O$ 的切线, 切点为 $A$, 那么半径 $OA$ 与直线 $l$ 是不是一定垂直呢?
分析: $\because$ 直线 $l$ 是 $\odot O$ 的切线, 切点为 $A$, $\therefore$ 圆心 $O$ 到 $l$ 的距离等于半径, $\therefore OA$ 是圆心到直线 $l$ 的距离, $\therefore OA \perp$ 直线 $l$.
【归纳总结】
切线的性质定理: .
符号语言:
$\because$ 直线 $l$ 是 $\odot O$ 的切线, 切点为 $A$,
$\therefore OA \perp$ 直线 $l$.

答案： 圆的切线垂直于经过切点的半径 。

【例1】
如图, $\triangle ABC$ 为等腰三角形, $O$ 是底边 $BC$ 的中点, 腰 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $D$.
求证: $AC$ 是 $\odot O$ 的切线.
【分析】
根据切线的判定定理, 要证明 $AC$ 是 $\odot O$ 的切线, 只要证明由点 $O$ 向 $AC$ 所作的垂线段 $OE$ 是 $\odot O$ 的半径就可以了, 而 $OD$ 是半径, 因此需要证明 $OE = OD$.

答案： 证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E。
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，OD为⊙O半径。
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC中点，
∴∠B=∠C，OB=OC。
在△OBD和△OCE中，
∠ODB=∠OEC=90°，
∠B=∠C，
OB=OC，
∴△OBD≌△OCE（AAS）。
∴OE=OD。
∵OE⊥AC，OE=OD，
∴AC是⊙O的切线。

变式:
如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC$, 以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$, 过点 $D$ 作 $DE$ 垂直 $AC$ 于点 $E$.
求证: $DE$ 是 $\odot O$ 的切线.

答案： 证明：连接 OD。
∵AB 是⊙O 的直径，
∴OA=OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD//AC。
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD。
∵OD 是⊙O 的半径，
∴DE 是⊙O 的切线。

【例2】
如图, $AB$ 为 $\odot O$ 直径, $C$ 是 $\odot O$ 上一点, $D$ 在 $AB$ 的延长线上, $\angle DCB = \angle A$.
(1) $CD$ 与 $\odot O$ 相切吗? 若相切, 请证明; 若不相切, 请说明理由.
(2) 若 $CD$ 与 $\odot O$ 相切, 且 $\angle D = 30°, BD = 10$, 求 $\odot O$ 的半径.

答案：
(1) 相切。证明：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°。
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA。
∵∠DCB=∠A，
∴∠OCA=∠DCB。
∵∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠DCB+∠OCB=90°，即∠OCD=90°。
∵OC为⊙O半径，
∴CD与⊙O相切。
(2) 设⊙O半径为r，则OC=OB=r，OD=OB+BD=r+10。
∵CD与⊙O相切，
∴∠OCD=90°。
在Rt△OCD中，∠D=30°，
∴OC=1/2 OD。
即r=1/2(r+10)，解得r=10。
∴⊙O半径为10。