《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

变式：已知点$P(1 - a,2a - 3)$关于原点的对称点在第一象限，求$a$的取值范围.

答案： 1. 点P(1 - a, 2a - 3)关于原点的对称点坐标为(a - 1, -2a + 3)。
2. 因为对称点在第一象限，所以横坐标＞0且纵坐标＞0，即：
$ \begin{cases} a - 1 ＞ 0 \\ -2a + 3 ＞ 0 \end{cases} $
3. 解不等式组：
由$a - 1 ＞ 0$得$a ＞ 1$；
由$-2a + 3 ＞ 0$得$a ＜ \frac{3}{2}$。
4. 综上，a的取值范围是$1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$。
结论：$1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$

【例$2$】如图，在平面直角坐标系中，已知$A(-3,1)$，$B(-2,3)$，$C(0,2)$，画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A'B'C'$，再画出$\triangle A'B'C'$关于$y$轴对称的$\triangle A''B''C''$. 问：$\triangle A''B''C''$与$\triangle ABC$有什么关系？请说明理由.

答案： ① $\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A'B'C'$的坐标分别为：
$A'(-3, -1)$，$B'(-2, -3)$，$C'(0, -2)$。
② $\triangle A'B'C'$关于$y$轴对称的$\triangle A''B''C''$的坐标分别为：
$A''(3, -1)$，$B''(2, -3)$，$C''(0, -2)$。
$\triangle A''B''C''$与$\triangle ABC$关于原点对称。
理由：
$\triangle A''B''C''$的坐标为$A''(3, -1)$，$B''(2, -3)$，$C''(0, -2)$，
$\triangle ABC$的坐标为$A(-3, 1)$，$B(-2, 3)$，$C(0, 2)$。
$\triangle A''B''C''$的每个点坐标均为$\triangle ABC$对应点坐标的相反数，即关于原点对称。
故$\triangle A''B''C''$与$\triangle ABC$关于原点对称。

1. 点$P(4,-7)$关于$x$轴的对称点的坐标是$$(4,7)$$，关于$y$轴的对称点的坐标是$$(-4,-7)$$，关于原点的对称点的坐标是$$(-4,7)$$.

答案： 1.(4,7) (-4,-7) (-4,7)

2. 在如图所示编号为①②③④的$4$个三角形中，关于$y$轴对称的两个三角形的编号为$$①②$$，关于坐标原点$O$对称的两个三角形的编号为$$①③$$.

答案： 2.①② ①③

3. 已知点$A(1 + a,1)$和点$B(5,b - 1)$是关于原点$O$的对称点，则$a + b$的值为(B).

A.$-4$
B.$-6$
C.$-8$
D.$-10$

答案： 3.B

4. 已知点$M(1 - 2m,m - 1)$关于原点的对称点在第一象限，则$m$的取值范围在数轴上表示正确的是(C).

答案： 4.C

5. (1)如图，在直角坐标系中，分别描出点$A$，$B$，$C$关于原点$O$的对称点$A_1$，$B_1$，$C_1$，写出点$A_1$，$B_1$，$C_1$的坐标，并分别依次连接点$A$，$B$，$C$和点$A_1$，$B_1$，$C_1$.
(2)描述$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$各对应顶点坐标之间的关系.
(3)$\triangle A_1B_1C_1$是由$\triangle ABC$经怎样的变化得到的？

答案： 5.
(1)略.
(2)△ABC和△A₁B₁C₁各对应顶点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数;
(3)△A₁B₁C₁是由△ABC绕原点O旋转180°得到的.

1. 点$P(-3,-1)$关于$x$轴对称的点$P_1$的坐标是$$(-3,1)$$，关于$y$轴对称的点$P_2$的坐标是$$(3,-1)$$，关于原点对称的点$P_3$的坐标是$$(3,1)$$.

答案： 1.(-3,1) (3,-1) (3,1)