《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 $ 8 \mathrm { ~m } $，宽是 $ 2 \mathrm { ~m } $，抛物线可以用 $ y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 4 $ 表示.
(1) 一辆货运卡车高 $ 4 \mathrm { ~m } $，宽 $ 2 \mathrm { ~m } $，它能通过该隧道吗？
(2) 如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？

答案：
(1) 卡车宽2米，可在隧道中间行驶，占据x∈[-1,1]。
在x=±1处，抛物线高度y=-$\frac{1}{4}(±1)^2$+4=3.75m。
隧道总高度H=3.75+2=5.75m≥4m，能通过。
(2) 双行道时，单车道宽4米，卡车在右侧车道居中行驶，占据x∈[1,3]。
在x=3处，抛物线高度y=-$\frac{1}{4}(3)^2$+4=1.75m。
隧道总高度H=1.75+2=3.75m＜4m，不能通过。
(1) 能通过；
(2) 不能通过。

变式：如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 $ 12 \mathrm { ~m } $，宽是 $ 4 \mathrm { ~m } $. 按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 $ y = - \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + b x + c $ 表示，且抛物线上的点 $ C $ 到 $ OB $ 的水平距离为 $ 3 \mathrm { ~m } $，到地面 $ OA $ 的距离为 $ \frac { 17 } { 2 } \mathrm { ~m } $.
(1) 求抛物线的函数关系式，并求出拱顶 $ D $ 到地面 $ OA $ 的距离.
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后的高为 $ 6 \mathrm { ~m } $，宽为 $ 4 \mathrm { ~m } $. 如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3) 在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等. 如果灯离地面的高度不超过 $ 8 \mathrm { ~m } $，那么两排灯的水平距离最小是多少？

答案：
(1) 由题意，长方形宽4m，故B(0,4)，B₁(12,4)，点C(3,17/2)在抛物线上。将B(0,4)代入y=-1/6x²+bx+c，得c=4。将C(3,17/2)，c=4代入，17/2=-1/6×9+3b+4，解得b=2。抛物线关系式：y=-1/6x²+2x+4。顶点x=-2/(2×(-1/6))=6，代入得y=-1/6×36+2×6+4=10。拱顶D到地面OA距离为10m。
(2) 令y=6，-1/6x²+2x+4=6，整理x²-12x+12=0，解得x=6±2√6，距离为(6+2√6)-(6-2√6)=4√6≈9.8m＞4m，能安全通过。
(3) 设灯高h≤8，令y=h，x²-12x+6(h-4)=0，水平距离d=√[12²-4×1×6(h-4)]=2√[6(10-h)]。h=8时，d最小=2√[6×2]=4√3m。
(1) 抛物线关系式：y=-1/6x²+2x+4；拱顶距离10m。
(2) 能安全通过。
(3) 最小水平距离4√3m。