《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

变式:应用配方法求最值.
(1)求 $2x^{2}-4x + 5$ 的最小值.
(2)求 $-3x^{2}+5x + 1$ 的最大值.

答案：
(1)
对于二次函数$y = 2x^{2}-4x + 5$，
首先提出二次项系数$2$，可得$y=2(x^{2}-2x)+5$。
对括号内进行配方：
$y = 2(x^{2}-2x + 1-1)+5=2((x - 1)^{2}-1)+5$。
展开式子：
$y=2(x - 1)^{2}-2 + 5=2(x - 1)^{2}+3$。
因为$(x - 1)^{2}\geqslant0$，所以$2(x - 1)^{2}\geqslant0$，则$2(x - 1)^{2}+3\geqslant3$。
当$x = 1$时，$y$有最小值$3$。
(2)
对于二次函数$y=-3x^{2}+5x + 1$，
提出二次项系数$-3$，可得$y=-3(x^{2}-\frac{5}{3}x)+1$。
对括号内进行配方：
$y=-3(x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}-\frac{25}{36})+1=-3((x-\frac{5}{6})^{2}-\frac{25}{36})+1$。
展开式子：
$y=-3(x - \frac{5}{6})^{2}+\frac{25}{12}+1=-3(x - \frac{5}{6})^{2}+\frac{37}{12}$。
因为$(x-\frac{5}{6})^{2}\geqslant0$，所以$-3(x - \frac{5}{6})^{2}\leqslant0$，则$-3(x - \frac{5}{6})^{2}+\frac{37}{12}\leqslant\frac{37}{12}$。
当$x=\frac{5}{6}$时，$y$有最大值$\frac{37}{12}$。
综上，
(1)中$2x^{2}-4x + 5$的最小值是$3$；
(2)中$-3x^{2}+5x + 1$的最大值是$\frac{37}{12}$。

解下列方程.
(1)$x^{2}+10x + 9 = 0$
(2)$x^{2}-x-\frac{7}{4}=0$
(3)$3x^{2}+6x - 4 = 0$
(4)$4x^{2}-6x - 3 = 0$
(5)$x^{2}+4x - 9 = 2x - 11$
(6)$x(x + 4)=8x + 12$

答案： $(1)x₁ = -9,x₂ = -1;(2)x₁ = \frac{1}{2} + \sqrt{2},x₂ = \frac{1}{2} - \sqrt{2};(3)x₁ = -1 + \frac{\sqrt{21}}{3},x₂ = -1 - \frac{\sqrt{21}}{3};(4)x₁ = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{21}}{4},x₂ = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{21}}{4};(5)$无实数解;
(6)x₁ = -2,x₂ = 6.

1. 用配方法解一元二次方程的步骤是怎样的?

答案： 用配方法解一元二次方程的步骤如下：
1.把常数项移到方程右边：将一元二次方程化为$ax^{2}+bx = -c$（$a\neq0$）的形式；
2.系数化为1：在等式两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1，得到$x^{2}+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；
3.配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}$，将左边配成完全平方式$(x + \frac{b}{2a})^{2}$；
4.求解方程：若方程右边是非负数，则用直接开平方法求解；若方程右边是负数，则方程无实数解。

1. 填空:
(1)$x^{2}+16x+$64$=(x+$8$)^{2}$;
(2)$x^{2}-x+$\frac{1}{4}$=(x-$\frac{1}{2}$)^{2}$;
(3)$4x^{2}+4x+$1$=(2x+$1$)^{2}$;
(4)$x^{2}-25x+$(\frac{25}{2})²$=(x-$\frac{25}{2}$)^{2}$.

答案： $1.(1)64 8 (2)\frac{1}{4} \frac{1}{2} (3)1 1(4)(\frac{25}{2})² \frac{25}{2}$

2. 用配方法解下列方程.
(1)$x^{2}+6x - 16 = 0$
(2)$2x^{2}-3x - 2 = 0$
(3)$2x^{2}-10x + 52 = 0$

答案： $2.(1)x₁ = 2,x₂ = -8;(2)x₁ = 2,x₂ = -\frac{1}{2};(3)$无实数根.