《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 填表：

答案： | 抛物线 | $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ | $ y = -\frac{1}{2}x^2 - 1 $ | $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $ |
| --- | --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向下 | 向下 | 向下 |
| 对称轴 | $ x = 0 $ | $ x = 0 $ | $ x = -1 $ |
| 顶点坐标 | $ (0, 0) $ | $ (0, -1) $ | $ (-1, 0) $ |

2. 将抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 向平移个单位长度，得到抛物线。

答案： 1. 首先明确抛物线平移规律：
对于抛物线$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$）的平移，实质上是它的顶点$(h,k)$的平移，抛物线$y =-\frac{1}{2}x^{2}$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y =-\frac{1}{2}x^{2}+1$的顶点坐标为$(0,1)$。
抛物线平移规律为“上加下减常数项”（对于$y = ax^{2}+bx + c=a(x - h)^2 + k$，$k$的变化）。
2. 然后根据规律判断：
设原抛物线$y =-\frac{1}{2}x^{2}$，新抛物线$y =-\frac{1}{2}x^{2}+1$。
因为$y =-\frac{1}{2}x^{2}+1$是在$y =-\frac{1}{2}x^{2}$的基础上，$y$的值增加了$1$。
所以将抛物线$y =-\frac{1}{2}x^{2}$向上平移$1$个单位长度，得到抛物线$y =-\frac{1}{2}x^{2}+1$。
故答案依次为：上；$1$；$y =-\frac{1}{2}x^{2}+1$。

3. 抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的开口方向，对称轴是，顶点坐标是。

答案： 开口方向填“向下”，对称轴填“$x = -1$”，顶点坐标填“$(-1, -1)$”。

4. 自学教材第 36 页例 4，思考如何建立适当的直角坐标系，选择恰当的函数解析式求出水管的长度。

答案： 由于不清楚教材第36页例4的具体内容，无法准确建立直角坐标系和选择函数解析式求出水管长度。一般来说，建立直角坐标系时，可根据水管的形状（如抛物线形状的水管），将其顶点或对称轴等关键位置放在坐标轴上，若为抛物线形状，可设抛物线解析式为$y = ax^{2}+bx + c$（一般式）或$y=a(x - h)^{2}+k$（顶点式，$(h,k)$为顶点坐标）等，然后根据已知条件（如水管上的点的坐标等）代入解析式求出参数，再根据所求问题计算水管长度（如求抛物线上两点间的距离，可根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$）。

用描点法画出函数 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的图象。
解：列表，描点，连线。


1. 结合图象说出抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的开口方向、对称轴和顶点。抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 经过怎样的平移得到抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $？
2. 抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 与 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的形状，位置。
3. 已知二次函数 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $，当 $ x ＜ -1 $ 时，函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ x ＞ -1 $ 时，函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ x = -1 $ 时，函数取最值，最值为。
4. (1)用类比的方法能否指出抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的开口方向、对称轴和顶点坐标？
(2)抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 经过怎样的平移得到抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $？
5. 二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的性质：

平移规律：抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 与 $ y = ax^2 $ 的形状，位置，是由 $ y = ax^2 $ 平移得到的，平移方向、距离要根据 $ h,k $ 的值来决定，平移前后 $ a $ 的值。平移规律：上加下减，左加右减。

答案： 列表：
| $ x $ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|--------|----|----|----|----|---|---|---|
| $ y $ | -5.5 | -3 | -1.5 | -1 | -1.5 | -3 | -5.5 |
描点与连线：
在坐标系中描出点$(-4,-5.5)$、$(-3,-3)$、$(-2,-1.5)$、$(-1,-1)$、$(0,-1.5)$、$(1,-3)$、$(2,-5.5)$，用平滑曲线连接即可得到抛物线。
问题解答：
1. 开口方向：向下；对称轴：直线$x=-1$；顶点：$(-1,-1)$。
平移过程：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
2. 相同；不同。
3. 增大；减小；大；大；$-1$。
4.
(1) 开口方向：向下；对称轴：直线$x=-1$；顶点坐标：$(-1,-1)$。
(2) 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位。
5.
| 图象 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 最值 | 增减性 |
|------------|----------|----------|--------|------------|-|
| $a＞0$ | 向上 | $(h,k)$ | $x=h$ | 最小值$k$ | 当$x＜h$时，$y$随$x$增大而减小；当$x＞h$时，$y$随$x$增大而增大 |
| $a＜0$ | 向下 | $(h,k)$ | $x=h$ | 最大值$k$ | 当$x＜h$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＞h$时，$y$随$x$增大而减小 |
平移规律：相同；不同；不变。