《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 解一元二次方程的方法是什么?

答案： 解一元二次方程的常用方法有：
1.直接开平方法：
对于形如$x^{2} = a$（$a\geq0$）或$(ax + b)^{2} = c$（$c\geq0$）的方程，可直接开平方求解，
即$x = \pm \sqrt{a}$或$ax + b = \pm \sqrt{c}$。
2.配方法：
通过配方将一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）转化为$(x + m)^{2}=n$（$n\geq0$）的形式，
然后用直接开平方法求解。
步骤为：二次项系数化为$1$，移项，配方，开方求解。
3.公式法：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
当$b^{2}-4ac\geq0$时，将$a$、$b$、$c$的值代入公式求解。
4.因式分解法：
将一元二次方程通过因式分解化为两个一次因式的乘积等于$0$的形式，
即$a(x - x_{1})(x - x_{2}) = 0$，
那么$x - x_{1}=0$或$x - x_{2}=0$，
从而得到方程的解$x_{1}$，$x_{2}$。
常见的因式分解方法有提公因式法、公式法（平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，
完全平方公式$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$）等。

2. 列方程解应用题的一般步骤是什么?

答案： 列方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审：审题，分析题目中已知量和未知量，明确各数量之间的关系。
（2）设：设未知数，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。
（3）列：根据题目中的等量关系，列出方程。
（4）解：解所列的方程。
（5）验：检验所求的解是否符合实际意义。
（6）答：写出答案。

3. 解方程: $1 + x + x(1 + x) = 121$.

答案： 解题步骤：
1. 整理方程左边
$1 + x + x(1 + x) = (1 + x) + x(1 + x) = (1 + x)(1 + x) = (1 + x)^2$
2. 转化为标准形式
$(1 + x)^2 = 121$
3. 开平方求解
$1 + x = \pm 11$
4. 解一元一次方程
当 $1 + x = 11$ 时，$x = 10$
当 $1 + x = -11$ 时，$x = -12$
结论：
$x_1 = 10$，$x_2 = -12$

一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感.每轮传染中平均1个人传染了几个人?
【分析】设每轮传染中平均1个人传染$x$个人.
(1)一开始一人患病,第1轮的传染源就是这个人,一轮过后他传染了$x$个人,此时共有人患病.
(2)在第2轮中,有人是传染源,因为1人传染$x$个人,所以第2轮后又有人患病(用代数式表示).这样,两轮过后共有人患病.
(3)根据题目中的相等关系可列方程为.
(4)解此方程得$x_{1}=$,$x_{2}=$.
(5)思考并讨论:解完此方程后是否还要验根?
若按这样的速度,3轮传染后有多少人患流感?

答案：
(1) $1 + x$
(2) $1 + x$，$x(1 + x)$，$1 + x + x(1 + x)$
(3) $1 + x + x(1 + x) = 121$
(4) 解方程：
$1 + x + x + x^2 = 121$
$x^2 + 2x + 1 = 121$
$(x + 1)^2 = 121$
$x + 1 = \pm 11$
$x_1 = 10$，$x_2 = -12$
(5) 需要验根，$x = -12$ 不符合实际意义，舍去。
3 轮传染后患病人数：$121 + 121 × 10 = 1331$
答：每轮传染平均 1 人传染 10 人，3 轮后共有 1331 人患病。

【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支.主干、支干和小分支的总数是133,每个支干长出多少小分支?

答案： 设每个支干长出$ x $个小分支。
主干数量为$ 1 $，支干数量为$ x $，小分支数量为$ x \cdot x = x^2 $。
根据总数是$ 133 $，得方程：$ 1 + x + x^2 = 133 $。
整理得：$ x^2 + x - 132 = 0 $。
因式分解：$ (x + 12)(x - 11) = 0 $。
解得：$ x_1 = -12 $（舍去，不合题意），$ x_2 = 11 $。
答：每个支干长出$ 11 $个小分支。