《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 已知方程 $ x^{2} + 4x - 1 = 0 $ 的两个根分别为 $ x_{1},x_{2} $，求 $ (1 + x_{1})(1 + x_{2}) $ 的值.

答案： 2.-4

1. 已知一元二次方程 $ x^{2} + px + q = 0 $ 的两根分别为 $ - 2 $ 和 1，则 $ p = $1，$ q = $-2.

答案： 1.1 -2

2. 如果 $ - 1 $ 是方程 $ 2x^{2} - x + m = 0 $ 的一个根，那么另一个根是\frac{3}{2}，$ m = $-3.

答案： $2.\frac{3}{2} -3$

3. 已知方程 $ 3x^{2} - 19x + m = 0 $ 的一个根是 1，求它的另一个根及 $ m $ 的值.

答案： 3.另一个根为$\frac{16}{3},m=16.$

4. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ 2x^{2} + 2kx + k - 1 = 0 $ 的两个根，且 $ (x_{1} + 1)(x_{2} + 1) = 4 $.
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 求 $ (x_{1} - x_{2})^{2} $ 的值.

答案： 4.
(1)-7
(2)65

5. 设 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ 3x^{2} + 4x - 3 = 0 $ 的两个根，利用根与系数之间的关系求 $ (x_{1} + 1)(x_{2} + 1) $，$ \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} $ 的值.

答案： $5.-\frac{4}{3},-\frac{34}{9}$

6. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - (2k + 1)x + k^{2} = 0 $.
(1) 如果方程有实数根，求 $ k $ 的取值范围.
(2) 设 $ x_{1},x_{2} $ 是方程的两个根，且 $ \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{1}{k - 1} $，求 $ k $ 的值.

答案： $6.(1)k\geq-\frac{1}{4};(2)k=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$