《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例 1 如图 3,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB 与 CD 交于点 E,CE = DE,过点 B 作 BF//CD,交 AC 的延长线于点 F. 求证：BF 是⊙O 的切线.

解析 根据垂径定理可得 AB⊥CD,再利用平行线的性质得出 BF⊥AB 即可.
证明 ∵ CE = DE,即直径 AB 平分弦 CD,
∴ AB⊥CD.
∵ BF//CD,
∴ BF⊥AB.
∵ OB 是⊙O 的半径,
∴ BF 是⊙O 的切线.
小锦囊 证明一条直线是圆的切线时,如果已知公共点,就连接圆心与这个公共点,证明这条线段与直线垂直；如果没有给出公共点,常常过圆心作直线的垂线段,再证明这条垂线段的长等于圆的半径长.

答案： 证明：
∵ $AB$ 是⊙$O$ 的直径，$CE = DE$，
∴ $AB \perp CD$（垂径定理）。
∵ $BF // CD$，
∴ $BF \perp AB$（平行线的性质）。
∵ $OB$ 是⊙$O$ 的半径，
∴ $BF$ 是⊙$O$ 的切线（切线的判定定理）。

例 2 如图 4,在平面直角坐标系中,以 M(2,3)为圆心,AB 为直径的圆与 x 轴相切,D 是切点,与 y 轴交于 A,C 两点,则点 B 的坐标是(4,3-√5).

解析 连接 MD,BC,由切线的性质可得 MD⊥x 轴,由圆周角定理的推论可得 AC⊥BC,则 MD⊥BC. 求出 BC,DE,即可得到点 B 的坐标.
解 如图 4,连接 MD,BC.
设 MD 与 BC 相交于点 E.
∵ ⊙M 与 x 轴相切,D 是切点,
∴ MD⊥x 轴.
∵ 点 M 的坐标为(2,3),
∴ OD = 2,BM = DM = 3.
∵ AB 为⊙M 的直径,
∴ ∠ACB = 90°,即 AC⊥BC.
又点 A,C 在 y 轴上,
∴ BC//x 轴. ∴ MD⊥BC.
∴ BE = CE = OD = 2,BC = 4.
在 Rt△BME 中,由勾股定理,得 ME = $\sqrt{BM^{2}-BE^{2}}= \sqrt{3^{2}-2^{2}}= \sqrt{5}$.
∴ DE = DM - ME = 3 - $\sqrt{5}$.
∴ 点 B 的坐标为(4,3 - $\sqrt{5}$).
答案 (4,3 - $\sqrt{5}$)
小锦囊 当已知圆的切线和切点时,常常需要连接圆心和切点,得到切线与半径垂直.

答案： (4,3-√5)