《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

10. 如图 4$img$ ,假设篱笆(虚线部分)的长度为 16 m,则所围成矩形 $ ABCD $ 的最大面积是 (C)。

A.$ 60 m^2 $
B.$ 63 m^2 $
C.$ 64 m^2 $
D.$ 66 m^2 $

答案： C

11. 抛物线 $ y = (x + 1)^2 + 5 $ 的顶点坐标是 $(-1,5)$。

答案： $(-1,5)$

12. 已知 $ A(-2,y_1) $,$ B(-1,y_2) $ 两点都在二次函数 $ y = x^2 - 2x - 1 $ 的图象上,则 $ y_1 $ ＞ $ y_2 $。(填“＞”“＜”或“=”)

答案： ＞

13. 某商品的进货单价为 30 元,当销售单价定为 40 元时,一周能销售 40 件。调查发现,该商品销售单价每涨 1 元,它一周的销售量将减少 1 件。为了获得最大周利润,此商品的销售单价应为 55 元。

答案： 55

14. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图 5$img$ 所示,且关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c - m = 0 $ 没有实数根,有下列结论：① $ b^2 - 4ac ＞ 0 $；② $ abc ＜ 0 $；③ $ m ＜ -3 $；④ $ 3a + b ＞ 0 $。其中,正确的有 ①③④。(填序号)

答案： ①③④

15.(14 分)已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象经过点 (3,4),(0,-5),(2,3)。
(1) 求二次函数的解析式。
(2) 求二次函数图象与 $ x $ 轴的交点坐标。

答案：
(1)
已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过点$(3,4)$，$(0,-5)$，$(2,3)$，将这三个点代入二次函数可得：
$\begin{cases}9a + 3b + c = 4\\c=-5\\4a+2b + c = 3\end{cases}$
将$c = - 5$代入$9a + 3b + c = 4$和$4a+2b + c = 3$，得到$\begin{cases}9a + 3b-5 = 4\\4a+2b-5 = 3\end{cases}$
即$\begin{cases}9a + 3b=9\\4a+2b = 8\end{cases}$
化简为$\begin{cases}3a + b = 3\\2a+b = 4\end{cases}$
用$3a + b = 3$减去$2a+b = 4$得：
$(3a + b)-(2a + b)=3 - 4$
$3a + b-2a - b=-1$
$a=-1$
把$a = - 1$代入$3a + b = 3$得：
$3×(-1)+b = 3$
$-3 + b = 3$
$b = 6$
所以二次函数的解析式为$y=-x^{2}+6x - 5$。
(2)
当$y = 0$时，$-x^{2}+6x - 5 = 0$，
即$x^{2}-6x + 5 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 5)=0$，
则$x - 1 = 0$或$x - 5 = 0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=5$。
所以二次函数图象与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$和$(5,0)$。

16.(14 分)已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $。
(1) 选取适当的数据填入下表,并在图 6的平面直角坐标系内描点画出二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 的图象。
| $ x $ | … |0|1|2|3|4| … |
| $ y $ | … |3|0|-1|0|3| … |
(2) 当 $ 1 ＜ x ＜ 4 $ 时,结合函数图象,直接写出 $ y $ 的取值范围。
(1)在平面直角坐标系中，分别取点 $(0,3)$，$(1,0)$，$(2,-1)$，$(3,0)$，$(4,3)$，然后画出抛物线。
(2)$ -1 \leq y ＜ 3 $

答案：
(1)
| $ x $ | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| $ y $ | … | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | … |
在平面直角坐标系中，分别取点 $(0,3)$，$(1,0)$，$(2,-1)$，$(3,0)$，$(4,3)$，然后画出抛物线。
(2) 由函数图象可知，当 $ 1 ＜ x ＜ 4 $ 时，$y$ 的取值范围是 $ -1 \leq y ＜ 3 $。

17.(16 分)图 7$img$ (见下一页)是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为 $ x $ 轴,过跳台终点 $ A $ 作水平线的垂线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系。图中的抛物线 $ C_1: y = -\dfrac{1}{12}x^2 + \dfrac{7}{6}x + 1 $ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点 $ O $ 正上方 4 m 处的点 $ A $ 滑出,滑出后的运动路径近似于抛物线 $ C_2: y = -\dfrac{1}{8}x^2 + bx + c $ 的一部分。
(1) 当运动员到与点 $ A $ 的水平距离为 4 m 的位置时,离水平线的高度为 8 m,求抛物线 $ C_2 $ 对应的函数解析式。
(2) 在 (1) 的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为 1 m？

答案：
(1)$y = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{2}x + 4$；
(2)12米。