《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

5. 已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的顶点坐标为 $(5, 0)$ 且开口方向、形状与函数 $ y = 5x^2 $ 的图象相同,求抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 对应的函数解析式。

答案： 解:因为抛物线$y=a(x-h)^{2}$的开口方向、形状与函数$y=5x^{2}$的图象相同,所以$a=5$.又因为抛物线的顶点坐标为$(5,0)$,所以$h=5$.故抛物线对应的函数解析式为$y=5(x-5)^{2}$.

6. 已知抛物线 $ y = a(x + h)^2 $ 的对称轴为直线 $ x = 2 $,且过点 $(1, -3)$。
(1)求该抛物线对应的函数解析式。
(2)抛物线 $ y = ax^2 $ 经过怎样的平移可得到抛物线 $ y = a(x + h)^2 $？
(3)当 $ x $ 在什么范围内时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？当 $ x $ 取何值时,函数有最大(或最小)值？

答案：
(1)解:因为抛物线的对称轴为直线$x=2$,所以$h=-2$.将$(1,-3)$代入$y=a(x-2)^{2}$,得$a=-3$.所以该抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x-2)^{2}$.
(2)抛物线$y=-3x^{2}$向右平移2个单位长度可得到抛物线$y=-3(x-2)^{2}$.
(3)当$x＞2$时,y随x的增大而减小;当$x=2$时,函数有最大值,为0.

7. 已知二次函数 $ y = (x - h)^2 $($ h $ 为常数),当自变量 $ x $ 的值满足 $ -1 \leq x \leq 3 $ 时,与其对应的函数值 $ y $ 的最小值为 $ 4 $,则 $ h $ 的值为 $$-3或5$$。

答案： -3或5 提示:①若$h＜-1≤x≤3$,则当$x=-1$时,y取得最小值4,即$(-1-h)^{2}=4$.解得$h=-3$或$h=1$(舍去).②若$-1≤x≤3\lt h$,则当$x=3$时,y取得最小值4,即$(3-h)^{2}=4$.解得$h=5$或$h=1$(舍去).③若$-1≤h≤3$,则当$x=h$时,y取得的最小值为0.此种情况不符合题意.所以h的值为-3或5.

1. 一般地,抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 与 $ y = ax^2 $ 形状相同,位置不同。
把抛物线 $ y = ax^2 $ 向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $。平移的方向、距离要根据 $ h $,$ k $ 的值来决定。

答案： 相同，不同

2. 抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 有如下特点：
(1)当 $ a ＞ 0 $ 时,开口向上；
当 $ a ＜ 0 $ 时,开口向下。
(2)对称轴是直线$x = h$。
(3)顶点坐标是$(h, k)$。
(4)若 $ a ＞ 0 $,则当 $ x ＜ h $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x ＞ h $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
若 $ a ＜ 0 $,则当 $ x ＜ h $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,当 $ x ＞ h $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案：
(1) 上；下
(2) $x = h$
(3) $(h, k)$
(4) 减小；增大；增大；减小