《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 下列关于 $ x $ 的函数一定为二次函数的是(C)。
A.$ y = ax^{2} + bx + c $
B.$ y = \frac{1}{x^{2}} $
C.$ y = 50 + x^{2} $
D.$ y = 2x(x + 2) - 2x^{2} $

答案： C

2. 二次函数 $ y = 3x^{2} + 3x - 6 $ 的二次项系数为3,一次项系数为3,常数项为-6。

答案： 3，3，-6

3. 某商店以每件 $ 21 $ 元的价格购进一批商品,再自行定价销售。若每件商品的售价为 $ x $ 元,则可卖出 $ (350 - 10x) $ 件,销售这批商品所得利润 $ y $(元)与售价 $ x $(元)之间的关系式为 $y = -10x^{2} + 560x - 7350$。

答案： 答题：
利润 $y$ 是由每件商品的利润和销售数量共同决定的。
每件商品的利润为 $(x - 21)$ 元。
销售数量为 $(350 - 10x)$ 件。
因此，总利润 $y$ 可以表示为：
$y = (x - 21)(350 - 10x)$
$y = 350x - 10x^{2} - 21 × 350 + 21 × 10x$
$y = -10x^{2} + 560x - 7350$
故答案为：$y = -10x^{2} + 560x - 7350$。

4. 如图2,已知矩形 $ ABCD $ 的长为 $ 5cm $,宽为 $ 4cm $。将它的长和宽都减去 $ xcm $,设剩下的小矩形 $ AB'C'D' $ 的面积为 $ ycm^{2} $。

(1)$ y $ 与 $ x $ 的关系式为$y=x^{2}-9x + 20$,它是二次函数。
(2)自变量 $ x $ 的取值范围为$0＜x＜4$。

答案：
(1) 由题意，剩下小矩形的长为$(5 - x)cm$，宽为$(4 - x)cm$，则面积$y=(5 - x)(4 - x)$，展开得$y=x^{2}-9x + 20$，它是二次函数。
(2) 因为长和宽减去$x$后均为正数，所以$\begin{cases}5 - x＞0\\4 - x＞0\end{cases}$，解得$x＜4$，又因为$x＞0$，所以自变量$x$的取值范围为$0＜x＜4$。
(1)$y=x^{2}-9x + 20$，二次
(2)$0＜x＜4$

1. 已知函数：① $ y = 3x - 1 $,② $ y = 3x^{2} - 1 $,③ $ y = 3x^{3} + 2x^{2} $,④ $ y = 2x^{2} - 2x + 1 $。其中二次函数的个数为(B)。
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： B

2. 若关于 $ x $ 的函数 $ y = (2 - a)x^{2} - x $ 是二次函数,则 $ a $ 的取值范围是(B)。
A.$ a \neq 0 $
B.$ a \neq 2 $
C.$ a ＜ 2 $
D.$ a ＞ 2 $

答案： B

3. 某药品的原价为 $ 33 $ 元/盒,该药品进行了两次降价,降价后的价格为 $ y $ 元/盒,设平均每次降价的百分比为 $ x $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为(D)。
A.$ y = 66(1 - x) $
B.$ y = 33(1 - x) $
C.$ y = 33(1 - x^{2}) $
D.$ y = 33(1 - x)^{2} $

答案： D

4. 二次函数 $ y = -x(x - 1) - 2 $ 的二次项系数为$-1$,一次项系数为$1$,常数项为$-2$。

答案： 二次项系数为：$-1$（或 负1）；
一次项系数为：$1$；
常数项为：$-2$（或 负2）；

5. 如图3,把一根长 $ 60cm $ 的铁丝折成由两个小矩形组成的大矩形,设大矩形的一边长为 $ xcm $。

(1)大矩形的面积 $ y(cm^{2}) $ 与 $ x(cm) $ 的关系式是$y=-\frac{3}{2}x^{2}+30x$,它是二次函数。
(2)当边长 $ x = 6cm $ 时,大矩形的面积是多少？
$126\,cm^{2}$

答案：
(1)设大矩形的一边长为$x\,cm$，铁丝总长度为$60\,cm$。由于图形由两个小矩形组成，铁丝构成三条宽（或长）和两条长（或宽），此处大矩形的一边为$x$，则另一边设为$b$，可得$3x + 2b = 60$，解得$b=\frac{60 - 3x}{2}$。大矩形面积$y = x \cdot b = x \cdot \frac{60 - 3x}{2}=-\frac{3}{2}x^{2}+30x$，它是二次函数。
(2)当$x = 6\,cm$时，$y=-\frac{3}{2}×6^{2}+30×6=-\frac{3}{2}×36 + 180=-54 + 180=126\,cm^{2}$。
(1)$y=-\frac{3}{2}x^{2}+30x$，二次
(2)$126\,cm^{2}$