《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 相似三角形的判定定理 3：两角分别相等的两个三角形相似.

答案： 两

2. 两直角三角形相似的判定：如果两个直角三角形满足一个锐角相等,或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似.

答案： 一；两

1. 已知一个三角形的两个内角分别是 $40^{\circ}$,$60^{\circ}$,另一个三角形的两个内角分别是 $40^{\circ}$,$80^{\circ}$,则这两个三角形(C).
A.一定不相似
B.不一定相似
C.一定相似
D.不能确定

答案： C

2. 下列各组中的两个图形不一定相似的是(A).
A.有一个角是 $35^{\circ}$ 的两个等腰三角形
B.两个等腰直角三角形
C.有一个角是 $120^{\circ}$ 的两个等腰三角形
D.两个等边三角形

答案： A

A.$F$
B.$G$
C.$H$
D.$K$

答案： 本题可先求出$\triangle ABC$三边的比例关系，再根据相似三角形的性质求出$\triangle DEM$中$DM$的长度，进而确定点$M$的位置。
步骤一：计算$\triangle ABC$三边的比例关系
设方格纸的边长为$1$，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$AB = 4$，$AC = 6$，$BC=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16 + 36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
所以$AB:AC:BC = 4:6:2\sqrt{13}= 2:3:\sqrt{13}$。
步骤二：计算$\triangle DEM$中$DM$的长度
因为$\triangle DEM\sim\triangle ABC$，所以$\frac{DE}{AB}=\frac{DM}{AC}$。
已知$DE = 2$，$AB = 4$，$AC = 6$，代入可得$\frac{2}{4}=\frac{DM}{6}$，即$DM=\frac{2×6}{4}= 3$。
步骤三：确定点$M$的位置
已知$D$到$F$的距离为$1$，$D$到$G$的距离为$2$，$D$到$H$的距离为$3$，$D$到$K$的距离为$4$。
由于$DM = 3$，所以点$M$应是$H$点。
综上，答案选$\boldsymbol{C}$。

例 如图 2,⊙O 是△ABC 的外接圆,$BC$ 是⊙O 的直径,$D$ 是劣弧 $\overset{\frown}{AC}$ 的中点,$BD$ 交 $AC$ 于点 $E$. 求证：$AD^2 = DE \cdot DB$.

解析 由 $D$ 是劣弧 $\overset{\frown}{AC}$ 的中点,有 $\angle ABD = \angle DAC$,又 $\angle ADB$ 是公共角,则△ABD∽△EAD,得对应边成比例,从而得证.
证明 $\because D$ 是劣弧 $\overset{\frown}{AC}$ 的中点,
$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{DC}$.
$\therefore \angle ABD = \angle DAC$.
又 $\angle ADB = \angle EDA$,
$\therefore \triangle ABD \sim \triangle EAD$.
$\therefore \frac{AD}{ED} = \frac{BD}{AD}$,即 $AD^2 = DE \cdot DB$.
小锦囊 利用相似三角形证明等积式的步骤：(1)将等积式转化为比例式；(2)观察比例式中的线段是否分别在两个三角形中,若在两个三角形中,可证明这两个三角形相似,否则可先转化到两个三角形中,再证三角形相似；(3)由相似三角形得出比例式,再化为等积式.

答案： 证明：
∵D是劣弧$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，
∴∠ABD=∠DAC。
又
∵∠ADB=∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴$\frac{AD}{ED}=\frac{BD}{AD}$，
即$AD^2=DE\cdot DB$。