《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

7. 如图11,在⊙O中,C,D是直径AB上两点,且AC= BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M,N在⊙O上。
(1)求证：$\overset{\frown}{AM}= \overset{\frown}{BN}$。
(2)当C,D分别为OA,OB的中点时,$\overset{\frown}{AM}= \overset{\frown}{BN}= \overset{\frown}{MN}$成立吗？

答案：
(1)证明：连接OM，ON。
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB。
∵AC=BD，
∴OA-AC=OB-BD，即OC=OD。
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°。
在Rt△OCM和Rt△ODN中，$\left\{\begin{array}{l} OM=ON\\ OC=OD\end{array}\right.$，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL）。
∴∠COM=∠DON。
∵∠AOM=∠COM，∠BON=∠DON，
∴∠AOM=∠BON。
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
(2)成立。
∵C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OM，OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$ON。
在Rt△OCM中，cos∠COM=$\frac{OC}{OM}=\frac{1}{2}$，
∴∠COM=60°，即∠AOM=60°。
同理，∠BON=60°。
∵∠AOB=180°，
∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON=60°。
∴∠AOM=∠BON=∠MON，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}=\overset{\frown}{MN}$。

1. 下列四个图中,∠α是圆周角的是(A)。

答案： A

2. 如图1,点A,B,C在⊙O上,若∠BOC= 70°,则∠A的度数为(35°)。
 
A.35°
B.40°
C.55°
D.70°

答案： 35°

3. 如图2,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,则∠ACB=90°,图中与∠B相等的角是∠ADC。
 

 

答案： 90；∠ADC

4. 如图3,四边形ABCD内接于⊙O,若∠C= 36°,则∠A= 144°。

答案： 144