《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

18.(2024 广西中考)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $ 的最值问题展开探究。
- 【经典回顾】 二次函数求最值的方法。
(1) 老师给出 $ a = -4 $,求二次函数 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $ 的最小值。
① 请你写出对应的函数解析式。
② 求当 $ x $ 取何值时,函数 $ y $ 取得最小值,并写出此时的 $ y $ 值。
- 【举一反三】 老师给出更多 $ a $ 的值,同学们即求出对应的函数在 $ x $ 取何值时,$ y $ 的最小值。记录结果,并整理成下表：
| $ a $ | … | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | … |
| $ x $ | … | * | 2 | 0 | -2 | -4 | … |
| $ y $ 的最小值 | … | * | -9 | -3 | -5 | -15 | … |

注：* 为②的计算结果。
- 【探究发现】 老师：“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现。”
甲同学：“我发现,老师给了 $ a $ 值后,我们只要取 $ x = -a $,就能得到 $ y $ 的最小值。”
乙同学：“我发现,$ y $ 的最小值随 $ a $ 值的变化而变化,当 $ a $ 由小变大时,$ y $ 的最小值先增大后减小,所以我猜想 $ y $ 的最小值中存在最大值。”
(2) 请结合函数解析式 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $,解释甲同学的说法是否合理？
(3) 你认为乙同学的猜想是否正确？ 若正确,则请求出此最大值；若不正确,则请说明理由。

答案：
(1) ① 当 $a = -4$ 时，函数解析式为：
$y = x^2 + 2×(-4)x + (-4) - 3 = x^2 - 8x - 7$。
② 二次函数 $y = x^2 - 8x - 7$ 的最小值出现在 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2×1} = 4$ 处，
将 $x=4$代入得：
$y = 4^2 - 8×4 - 7 = 16 - 32 - 7 = -23$，
所以当 $x = 4$ 时，函数取得最小值 $y = -23$（原表格中 $a = -4$ 对应的 $y$ 的最小值记为 $*$，此处计算为 $-23$，但原表格未给出，以计算结果为准）。
(2) 对于函数 $y = x^2 + 2ax + a - 3$，其对称轴为 $x = -\frac{2a}{2} = -a$。
由于二次函数开口向上，当 $x = -a$ 时，函数取得最小值。
因此，甲同学的说法合理，只要取 $x = -a$，就能得到 $y$ 的最小值。
(3) 乙同学的猜想正确。
将 $x = -a$ 代入 $y = x^2 + 2ax + a - 3$，得到：
$y = (-a)^2 + 2a×(-a) + a - 3 = a^2 - 2a^2 + a - 3 = -a^2 + a - 3$，
$y = -a^2 + a - 3 = -(a^2 - a) - 3 = -(a^2 - a + \frac{1}{4}) - 3 + \frac{1}{4} = -(a - \frac{1}{2})^2 - \frac{11}{4}$。
由于 $-(a - \frac{1}{2})^2 \leq 0$，当 $a = \frac{1}{2}$ 时，$y$ 取得最大值 $-\frac{11}{4}$。
因此，乙同学的猜想正确，$y$ 的最小值中存在最大值，且最大值为 $-\frac{11}{4}$。