《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 直线和圆的位置关系有三种：相交、相切和相离。
设圆的半径为 $ r $,圆心到直线的距离为 $ d $,则
① 直线和圆相交(有 2 个公共点)$\Leftrightarrow$ $ d $＜$ r $；
② 直线和圆相切(有 1 个公共点)$\Leftrightarrow$ $ d $=$ r $；
③ 直线和圆相离(没有公共点)$\Leftrightarrow$ $ d $＞$ r $。

答案： 相交 相切 相离 ①＜ ②= ③＞

2. 割线、切线：和圆有两个公共点的直线叫作圆的割线；和圆只有一个公共点的直线叫作圆的切线。

答案： 两 一

已知$\odot O$的半径为 $ 8 \mathrm{cm} $。
(1)若圆心 $ O $ 与直线 $ l $ 的距离为 $ 6 \mathrm{cm} $,则直线 $ l $ 与$\odot O$的位置关系为相交,有2个公共点。
(2)若圆心 $ O $ 与直线 $ l $ 的距离为 $ 8 \mathrm{cm} $,则直线 $ l $ 与$\odot O$的位置关系为相切,有1个公共点。
(3)若圆心 $ O $ 与直线 $ l $ 的距离为 $ 12 \mathrm{cm} $,则直线 $ l $ 与$\odot O$的位置关系为相离,没有(填“有”或“没有”)公共点。

答案：
(1)相交 2
(2)相切 1
(3)相离 没有

例 如图 1,已知$\angle AOB = 30^{\circ}$,$ P $ 是 $ OA $ 上的一点,$ OP = 24 \mathrm{cm} $,以 $ r 为半径作\odot P$。

(1)当 $ r = 12 \mathrm{cm} $ 时,试判断$\odot P$与直线 $ OB $ 的位置关系。
(2)当$\odot P$与直线 $ OB $ 相离时,试求出 $ r $需满足的条件。
解析 (1)要判断$\odot P$与直线 $ OB $ 的位置关系,已知$\odot P$的半径,只要求出圆心 $ P $到直线 $ OB $ 的距离即可判定。
(2)根据直线与圆相离时圆心到直线的距离大于半径长即可得解。
解 (1)如图 1,过点 $ P $ 作 $ PC \perp OB $,垂足为 $ C $,则$\angle OCP = 90^{\circ}$。
$\because \angle AOB = 30^{\circ}$,$ OP = 24 \mathrm{cm} $,
$\therefore PC = \frac{1}{2} OP = 12 \mathrm{cm} $。
$\therefore$ 圆心 $ P $ 到直线 $ OB $ 的距离等于半径。
$\therefore$$\odot P$与直线 $ OB $ 的位置关系是相切。
(2)当$\odot P$与直线 $ OB $ 相离时,$ r ＜ PC $,
$\therefore$ $ r $ 需满足的条件是 $ 0 \mathrm{cm} ＜ r ＜ 12 \mathrm{cm} $。

答案：
(1)过点$P$作$PC\perp OB$，垂足为$C$，则$\angle OCP=90^{\circ}$。
$\because\angle AOB=30^{\circ}$，$OP=24\mathrm{cm}$，
$\therefore PC=\frac{1}{2}OP=12\mathrm{cm}$。
$\because r=12\mathrm{cm}$，
$\therefore$圆心$P$到直线$OB$的距离等于半径，
$\therefore\odot P$与直线$OB$相切。
(2)由
(1)知圆心$P$到直线$OB$的距离$PC=12\mathrm{cm}$。
当$\odot P$与直线$OB$相离时，$r\lt PC$，
$\therefore r$需满足的条件是$0\mathrm{cm}\lt r\lt12\mathrm{cm}$。