《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

6. 如图11,在扇形$OAB$中,点$C在\overset{\frown}{AB}$上,$\angle AOB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$AD\perp BC于点D$,连接$AC$。若$OA = 2$,则阴影部分的面积为1 - √3 + 2π/3。(结果保留$\pi$)

答案： 1 - √3 + 2π/3

7. 如图12,$Rt\triangle ABC的斜边AB在直线l$上,$BC = 1$,$AC = \sqrt{3}$,将$Rt\triangle ABC$按顺时针方向转动两次,使它转到$\triangle A''B''C''$的位置,点$B'$,$C'$,$C''$,$A''均在直线l$上。
在这一过程中,点$A$经过的路线的长为$\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$。(结果保留$\pi$)
在这一过程中,点$A经过的路线与直线l$所围成的面积是$\frac{25\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。(结果保留$\pi$)

答案： 第1问：点$A$经过的路线的长
解：在$Rt\triangle ABC$中，$AC = \sqrt{3}$，$BC = 1$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}=2$。
$\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\angle ABC = 60°$，$\angle BAC=30°$。
第一次旋转：以点$B$为旋转中心顺时针旋转，点$A$旋转至$A'$，旋转角为$180° - 60°=120°$，半径为$AB = 2$。
弧长$l_1=\frac{120°}{360°}×2\pi× AB=\frac{1}{3}×2\pi×2=\frac{4\pi}{3}$。
第二次旋转：以点$C'$为旋转中心顺时针旋转，点$A'$旋转至$A''$，旋转角为$90°$，半径为$A'C'=AC=\sqrt{3}$。
弧长$l_2=\frac{90°}{360°}×2\pi× A'C'=\frac{1}{4}×2\pi×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$。
总路线长：$l_1 + l_2=\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$。
第2问：点$A$经过的路线与直线$l$所围成的面积
解：第一次旋转形成的扇形面积：$S_1=\frac{120°}{360°}×\pi× AB^2=\frac{1}{3}\pi×2^2=\frac{4\pi}{3}$。
第二次旋转形成的扇形面积：$S_2=\frac{90°}{360°}×\pi×(A'C')^2=\frac{1}{4}\pi×(\sqrt{3})^2=\frac{3\pi}{4}$。
三角形面积补充：第一次旋转后，扇形与直线$l$围成的区域需补充$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
总面积：$S = S_1 + S_2 + S_{\triangle ABC}=\frac{4\pi}{3}+\frac{3\pi}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
最终答案
1. $\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$
2. $\frac{25\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 圆锥的性质：圆锥的轴过顶点和底面圆的圆心,并且垂直于底面；经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形。

答案： 圆心，等腰。

2. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线,它们的长都相等。

答案： 线段；相等

3. 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形。

答案： 扇

4. 圆锥的侧面积和全面积：设圆锥的母线长为$l$,底面圆的半径为$r$,则圆锥的侧面积$S_{侧}=$$\pi rl$,圆锥的全面积$S_{全}=$$\pi rl + \pi r^2$。

答案： $\pi rl$；$\pi rl + \pi r^2$

1. 用一个圆心角为$120^{\circ}$,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是(B)。
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

2. 如图1,圆锥的底面圆的直径$BC = 6$,高$OA = 4$,则该圆锥的母线长为5,侧面展开图的面积为15π,全面积为24π。(结果保留$\pi$)

答案： 5，15π，24π

例 (1)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 12$,$BC = 5$,将$\triangle ABC绕边AC$所在直线旋转一周得到圆锥,则该圆锥的侧面积是(B)。
A. $25\pi$
B. $65\pi$
C. $90\pi$
D. $130\pi$
(2)已知圆锥的底面圆的半径为2,母线长为6,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是$120^{\circ}$。
解析 (1)直角三角形绕直角边旋转一周,所得的几何体是一个圆锥,两条直角边分别为圆锥的高、底面圆半径,斜边为圆锥的母线。
(2)设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是$n^{\circ}$,再根据圆锥的底面圆周长等于圆锥的侧面展开图的弧长,列方程求解。
解 (1)在$Rt\triangle ABC$中,由勾股定理,得$AB= \sqrt{AC^{2}+BC^{2}} = 13$。
$\therefore圆锥的母线长l = 13$,底面圆半径$r = 5$。
$\therefore圆锥的侧面积为\pi rl= \pi×5×13 = 65\pi$。
(2)设圆心角的度数是$n^{\circ}$。
根据题意,得$\frac{n\pi×6}{180}= 2\pi×2$。
解得$n = 120$。
答案 (1)B (2)$120^{\circ}$
小锦囊 在圆锥中,存在由底面圆半径、高及母线构成的直角三角形,因此可利用勾股定理解决底面圆半径、高及母线的问题。注意：圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长。

答案：
(1)B
(2)$120^{\circ}$