《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $

答案： 6.C 提示:设$A\left(m,\dfrac{k}{m}\right)$.在$y=-\dfrac{1}{x}$中,令$y=\dfrac{k}{m}$,得$x=-\dfrac{m}{k}$;令$x=m$,得$y=-\dfrac{1}{m}$.所以$B\left(-\dfrac{m}{k},\dfrac{k}{m}\right)$,$D\left(m,-\dfrac{1}{m}\right)$.所以$C\left(-\dfrac{m}{k},-\dfrac{1}{m}\right)$.所以$S_{2}=1$,$S_{4}=1$,$S_{1}=\dfrac{1}{k}$.因为$S_{2}+S_{3}+S_{1}=\dfrac{5}{2}$,所以$1+\dfrac{1}{k}+1=\dfrac{5}{2}$.解得$k=2$.经检验,$k=2$是分式方程的解,且符合题意.

7. 如图 11,在矩形 $ ABCD $ 中,边 $ AB $ 在 $ x $ 轴上(点 $ B $ 在 $ x $ 轴的正半轴上),$ BC = AO $,$ AB = 3BC $,已知 $ A(-2, 0) $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ C $。求点 $ C $ 的坐标和反比例函数的解析式。

答案： 解:由$A(-2,0)$,得$AO=2$.又$BC=AO$,$AB=3BC$,所以$BC=2$,所以$AB=6$,则$OB=4$.所以$C(4,2)$.把$C(4,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$k=4×2=8$.故反比例函数的解析式为$y=\dfrac{8}{x}$.

8. 如图 12,$ O $ 为坐标原点,直线 $ l \perp y $ 轴,垂足为 $ M $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (k \neq 0) $ 的图象与 $ l $ 交于点 $ A(m, 3) $,$ \triangle AOM $ 的面积为 $ 6 $。
(1) 求 $ m $,$ k $ 的值。
(2) 在 $ x $ 轴的正半轴上取一点 $ B $,使 $ OB = OA $,求直线 $ AB $ 的函数解析式。

答案： 解:
(1)根据题意,得$\dfrac{1}{2}AM\cdot OM=6$,即$\dfrac{1}{2}m\cdot3=6$,解得$m=4$.由$A(4,3)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,得$k=4×3=12$.
(2)因为$OB=OA=\sqrt{OM^{2}+AM^{2}}=5$,所以$B(5,0)$.设直线$AB$的函数解析式为$y=ax+b$,则$\begin{cases}4a+b=3,\\5a+b=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-3,\\b=15.\end{cases}$故直线$AB$的函数解析式为$y=-3x+15$.