《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

5. 如图 7,将一张长 10 dm,宽 6 dm 的矩形纸板的四个角各剪去一个边长为 x dm 的正方形,然后将剩余(阴影)部分制成一个无盖纸盒。
(1) 无盖纸盒盒底的长为10 - 2x dm,宽为_________6 - 2x dm。(用含 x 的代数式表示)
(2) 要制作一个底面积是$ 32 dm^2 $的无盖长方体纸盒,求剪去的正方形的边长 x。

答案：
(1) $10 - 2x$；$6 - 2x$
(2) 依题意，得$(10 - 2x)(6 - 2x) = 32$
展开得：$60 - 20x - 12x + 4x^2 = 32$
整理得：$4x^2 - 32x + 28 = 0$
化简得：$x^2 - 8x + 7 = 0$
因式分解得：$(x - 1)(x - 7) = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = 7$
∵ $6 - 2x ＞ 0$，即$x ＜ 3$，
∴ $x = 7$不合题意，舍去
答：剪去的正方形的边长为$1$dm。

6. 如图 8,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8 cm,BC = 4 cm,一动点 P 从点 C 出发沿着 CB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度运动,另一动点 Q 从点 A 出发沿着 AC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度运动。设 P,Q 两点同时出发,运动时间为 t(s)。
(1) 当△PCQ 的面积是△ABC 面积的 $\frac{1}{4}$ 时,求 t 的值。
(2) 判断△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的 $\frac{1}{2}$。若能,则求出 t 的值；若不能,则请说明理由。

答案： （1）$t=2$；（2）不能。