《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

2. 抛物线 $ y = 6x^{2} $ 的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0)。

答案： 上；y轴；(0,0)

3. 在图1的平面直角坐标系中作出二次函数 $ y = 2x^{2} $ 的图象。

(1)当 $ x = 3 $ 时,$ y = $18。
(2)当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案：
(1) $18$
(2) 减小；增大

1. 抛物线 $ y = x^{2} $,$ y = -3x^{2} $,$ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 都具有的性质是(D)。
A.开口向上
B.有最大值
C.对称轴是 $ x $ 轴
D.顶点为原点

答案： D

2. 已知 $ (-3, y_{1}) $,$ (-2, y_{2}) $,$ (1, y_{3}) $ 是抛物线上 $ y = -5x^{2} $ 的点,则(A)。
A.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
B.$ y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2} $
C.$ y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
D.$ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $

答案： A

3. 下列抛物线中开口最小的是(B)。
A.$ y = -2x^{2} $
B.$ y = 3x^{2} $
C.$ y = -\frac{1}{4}x^{2} $
D.$ y = \frac{1}{2}x^{2} $

答案： B

4. 抛物线 $ y = -\frac{3}{2}x^{2} $ 的开口向下,对称轴为y轴。

答案： 下，y轴

5. 在图2的平面直角坐标系中作出二次函数 $ y = -\frac{1}{3}x^{2} $ 的图象。
(1)函数图象的顶点坐标为 (0,0)。

(2)当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而 增大；当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而 减小。
(3)当 $ x = $ 0时,$ y $ 有最大值,最大值是 0。
图象绘制：用平滑的曲线，经过原点$(0,0)$，且对称于$y$轴，如$x = \pm3$时，$y=-3$；$x = \pm6$时，$y = -12$等，依次描点连线画出抛物线$y = -\frac{1}{3}x^{2}$。

答案：
(1)
函数图象是以原点$(0,0)$为顶点，对称轴是$y$轴的抛物线，顶点坐标为$(0,0)$。
(2)
当$x \lt 0$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x \gt 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3)
当$x = 0$时，$y$有最大值，最大值是$0$。
图象绘制：用平滑的曲线，经过原点$(0,0)$，且对称于$y$轴，如$x = \pm3$时，$y=-3$；$x = \pm6$时，$y = -12$等，依次描点连线画出抛物线$y = -\frac{1}{3}x^{2}$。

6. 当 $ ab ＞ 0 $ 时,函数 $ y = ax^{2} $ 与 $ y = ax + b $ 在同一平面直角坐标系的图象可能是(D)。

答案： D

7. 综合与探究

【特例探究】
(1)当 $ m = 1 $,$ n = 2 $ 时,$ y_{E} = $-2,$ y_{F} = $-2；
当 $ m = 3 $,$ n = 5 $ 时,$ y_{E} = $-15,$ y_{F} = $-15。
【归纳证明】
(2)对任意实数 $ m $,$ n $($ n ＞ m ＞ 0 $),猜想 $ y_{E} $ 与 $ y_{F} $ 的大小关系,并证明你的猜想。
【拓展应用】
(3)将抛物线 $ y = -x^{2} $ 改为抛物线 $ y = ax^{2} $($ a ＜ 0 $),其他条件不变,请直接写出 $ y_{E} $ 与 $ y_{F} $ 的大小关系。猜想：$ y_E = y_F $。证明：设点$ A(m,0) $, $ B(n,0) $，过$ A $作$ x $轴垂线交抛物线$ y=-x^2 $于点$ C $，则$ C(m,-m^2) $。直线$ OC $解析式为$ y=-mx $（由$ O(0,0) $和$ C(m,-m^2) $得斜率$ k=-m $）。直线$ OC $与过$ B $的垂线$ x=n $交于$ E $，则$ y_E=-m \cdot n=-mn $。过$ B $作$ x $轴垂线交抛物线于$ D(n,-n^2) $，直线$ OD $解析式为$ y=-nx $。直线$ OD $与过$ A $的垂线$ x=m $交于$ F $，则$ y_F=-n \cdot m=-mn $。故$ y_E=y_F $。$ y_E = y_F $

答案：
(1) -2, -2; -15, -15
(2) 猜想：$ y_E = y_F $。
证明：设点$ A(m,0) $, $ B(n,0) $，过$ A $作$ x $轴垂线交抛物线$ y=-x^2 $于点$ C $，则$ C(m,-m^2) $。直线$ OC $解析式为$ y=-mx $（由$ O(0,0) $和$ C(m,-m^2) $得斜率$ k=-m $）。直线$ OC $与过$ B $的垂线$ x=n $交于$ E $，则$ y_E=-m \cdot n=-mn $。
过$ B $作$ x $轴垂线交抛物线于$ D(n,-n^2) $，直线$ OD $解析式为$ y=-nx $。直线$ OD $与过$ A $的垂线$ x=m $交于$ F $，则$ y_F=-n \cdot m=-mn $。故$ y_E=y_F $。
(3) $ y_E = y_F $