《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

6. 如图 2,将一张正方形彩纸剪去两个宽均为 2 cm 的小矩形(阴影部分)得到一个面积为 $ 49 cm^{2} $ 的小正方形。设原正方形彩纸的边长为 $ x cm $,则可列方程为$(x-2)^{2}=49$；解得原正方形彩纸的边长为9cm。

答案： $(x-2)^{2}=49$ 9 提示:注意所得解要符合实际意义.

7. 小明在解方程 $ 3x^{2}+12x+12= 27 $ 时出现了错误,解答过程如下：
解：两边都除以 3,得 $ x^{2}+4x+4= 9 $。…①
方程可变形为 $ (x+2)^{2}= 9 $。…②
开平方,得 $ x+2= \pm 9 $。…③
所以 $ x_{1}= 11,x_{2}= -7 $。…④
(1)上述小明解方程的过程中,从第③步(填序号)开始出现错误。
(2)写出此题正确的解答过程。
正确解法如下:两边都除以3,得$x^{2}+4x+4=9$.方程可变形为$(x+2)^{2}=9$.开平方,得$x+2=\pm3$.所以$x_{1}=1$,$x_{2}=-5$.

答案：
(1)③
(2)正确解法如下:两边都除以3,得$x^{2}+4x+4=9$.方程可变形为$(x+2)^{2}=9$.开平方,得$x+2=\pm3$.所以$x_{1}=1$,$x_{2}=-5$.

8. 对于实数 $ m,n $,我们用符号 $ \min\{m,n\} $ 表示 $ m,n $ 两数中较小的数,如 $ \min\{1,2\}= 1 $。如果 $ \min\{x^{2}-1,2x^{2}\}= 2 $,那么 $ x= $$\pm\sqrt{3}$。

答案： $\pm\sqrt{3}$ 提示:当$x^{2}-1\leq2x^{2}$时,$x^{2}-1=2$.解得$x_{1}=\sqrt{3}$,$x_{2}=-\sqrt{3}$.此时$2x^{2}=6＞2$,符合题意.当$x^{2}-1\geq2x^{2}$时,$2x^{2}=2$.解得$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$.此时$x^{2}-1=0＜2$,不符合题意.故$x$的值为$\pm\sqrt{3}$.

1. 配方法
(1)通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫作配方法。
(2)配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。

答案： 完全平方

2. 一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成$(x + n)^2 = p$的形式,那么就有
(1)当$p ＞ 0$时,方程有两个不等的实数根：$x_1 = $$-n-\sqrt{p}$,$x_2 = $$-n+\sqrt{p}$；
(2)当$p = 0$时,方程有两个相等的实数根：$x_1 = x_2 = $$-n$；
(3)当$p ＜ 0$时,因为对任意实数$x$,都有$(x + n)^2 \geq 0$,所以方程无实数根。

答案：
(1)$-n-\sqrt{p}$ $-n+\sqrt{p}$；
(2)-n；
(3)无

1. 填空：
(1)$x^2 + 12x +$36$ = (x + 6)^2$；
(2)$x^2 - 6x +$9$ = (x -$______3$)^2$；
(3)$x^2 + 8x +$16$ = (x +$______4$)^2$。

答案：
(1)36；
(2)9 3；
(3)16 4

2. 用配方法解方程$x^2 - 4x = 6$时,方程两边同时加上4,使得方程左边配成一个完全平方式。

答案： 4