《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

6. 甲、乙、丙三人之间相互传球,球从一人手中随机传给另外一人,共传球 3 次。
(1)若开始时球在甲手中,则经过 3 次传球后,球传回到甲手中的概率是$\frac{1}{4}$。
(2)若丙想使经过 3 次传球后,球落在自己手中的概率最大,丙会让球开始时在谁的手中？请说明理由。
丙会让球开始时在甲或乙手中.理由：由（1）可知，从甲开始传球，传球3次后有8种等可能的结果，其中传到丙手中的结果有3种，所以从甲开始传球，3次后球传回到丙手中的概率$P_{1}=\frac{3}{8}$.同理可得，从乙开始传球，3次后球传回到丙手中的概率$P_{2}=\frac{3}{8}$；从丙开始传球，3次后球传回到丙手中的概率$P_{3}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.因为$P_{1}=P_{2}＞P_{3}$，所以丙想使经过3次传球后，球落在自己手中的概率最大，应让球开始时在甲或乙手中.

答案： （1）$\frac{1}{4}$ 提示：3次传球共有8种等可能的结果，其中传回甲手中的有2种，即甲→乙→丙→甲，甲→丙→乙→甲，所以P（球传回到甲手中）=$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$. （2）丙会让球开始时在甲或乙手中.理由：由（1）可知，从甲开始传球，传球3次后有8种等可能的结果，其中传到丙手中的结果有3种，所以从甲开始传球，3次后球传回到丙手中的概率$P_{1}=\frac{3}{8}$.同理可得，从乙开始传球，3次后球传回到丙手中的概率$P_{2}=\frac{3}{8}$；从丙开始传球，3次后球传回到丙手中的概率$P_{3}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.因为$P_{1}=P_{2}＞P_{3}$，所以丙想使经过3次传球后，球落在自己手中的概率最大，应让球开始时在甲或乙手中.

对一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性。因此,我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。

答案： 频率

1. 在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是(D)。
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率

答案： D

2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如右栏表。根据表中数据,估计这名运动员射击1次,射中9环以上的概率是0.8。(精确到0.1)
|射击次数|100|200|500|1000|
|“射中9环”以上的次数|78|158|405|800|
|“射中9环”以上的频率|0.78|0.79|0.81|0.80|

答案： 0.8

例 某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表：
|每批粒数$n$|100|150|200|500|800|1000|
|发芽的粒数$m$|65|111|136|345|560|700|
|发芽的频率$\dfrac{m}{n}$|0.65|0.74|0.68|0.69|0.70|0.70|

(1)计算并完成表格。(结果精确到0.01)
(2)当$n$很大时,频率将接近0.70。
(3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？请简要说明理由。
这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.70。理由：在相同条件下，当试验次数很大时，频率稳定在某个常数附近，这个常数可作为该事件概率的估计值，这里大量重复试验中发芽的频率趋近于0.70，所以发芽概率估计值为0.70。

答案：
(1)
$560÷800 = 0.70$；
$700÷1000 = 0.70$。
故表中依次填入$0.70$，$0.70$。
(2)
当$n$很大时，频率将接近$0.70$。
(3)
这种玉米种子的发芽概率的估计值是$0.70$。
理由：在相同条件下，当试验次数很大时，频率稳定在某个常数附近，这个常数可作为该事件概率的估计值，这里大量重复试验中发芽的频率趋近于$0.70$，所以发芽概率估计值为$0.70$。