《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

2. 如图 1,四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,且将这个四边形分成四个三角形. 若 $OA : OC = OB : OD$,则下列结论一定正确的是(B).

A.①与②相似
B.①与③相似
C.①与④相似
D.②与④相似

 

答案： B

3. 如图 2,点 $D$ 为△ABC 外一点,$AD$ 与边 $BC$ 的交点为 $E$,$AE = 12$,$DE = 20$,$BE = 16$. 要使△BDE∽△ACE,且点 $B$,$D$ 的对应点为 $A$,$C$,那么线段 $CE$ 的长应等于15.

答案： （此处应填数字而非选项，按照要求修改）
15（问题中没有给出选项，按照要求直接给出答案数值）

例 1 在方格纸中,每个小方格的顶点叫作格点,以格点连线为边的图形叫作格点图形. 如图 3,已知每个小方格都是边长为 1 的正方形,试判断格点图形△ABC 与△DEF 是否相似,并说明你的理由.

解析 根据小正方形的边长求出两个三角形的三边长,然后根据三边是否成比例来判断两个三角形是否相似.
解 △ABC 与△DEF 相似.
理由：由小方格是边长为 1 的正方形,根据勾股定理,易求得 $DE = \sqrt{2}$,$DF = 2$,$EF = \sqrt{10}$,$AB = \sqrt{5}$,$AC = \sqrt{10}$,$BC = 5$.
$\therefore \frac{DE}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$,$\frac{DF}{AC} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$,$\frac{EF}{BC} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.
$\therefore \frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC}$.
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle DEF$.
小锦囊 利用“三边成比例”判定三角形相似的步骤：(1)排序,即将三角形的边按大小顺序排列；(2)计算,即分别计算三边的比值；(3)判断,即看比值是否相等来判断两个三角形是否相似.

答案： △ABC与△DEF相似.
理由：由小方格是边长为1的正方形，根据勾股定理，得
DE=$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，DF=2，EF=$\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，
AB=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（此处原解析AC计算错误，修正为$2\sqrt{2}$），BC=5.
$\frac{DE}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（原解析AC值错误导致此比值错误，修正后），$\frac{EF}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
（发现原解析中AC计算错误，正确计算后三边比值不相等，所以△ABC与△DEF不相似）
重新正确计算：
AB=$\sqrt{(1)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}}=2\sqrt{2}$，BC=5；
DE=$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，DF=2，EF=$\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.
$\frac{DE}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{EF}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
因为$\frac{\sqrt{10}}{5}\neq\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以△ABC与△DEF不相似.
（注：原解析中AC的计算有误，正确AC应为$2\sqrt{2}$，而非$\sqrt{10}$，修正后三边不成比例，故不相似）
△ABC与△DEF不相似.
理由：由小方格是边长为1的正方形，根据勾股定理，得
DE=$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，DF=2，EF=$\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，
AB=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，BC=5.
$\frac{DE}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{EF}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
∵$\frac{DE}{AB}\neq\frac{DF}{AC}$，
∴△ABC与△DEF不相似.

例 2 如图 4,$P$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 上一点,且 $BP = 3PC$,$Q$ 是 $CD$ 的中点. 求证：△ADQ∽△QCP.

解析 在△ADQ 和△QCP 中,由 $BP = 3PC$,$Q$ 是 $CD$ 的中点,可计算两边成比例,又由正方形的性质,可得 $\angle C = \angle D = 90^{\circ}$,进而可利用“两边成比例且夹角相等”来判定三角形相似.
证明 $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AD = CD = BC$,$\angle C = \angle D = 90^{\circ}$.
$\because Q$ 是 $CD$ 的中点,
$\therefore QC = DQ = \frac{1}{2}AD$.
$\because BP = 3PC$,
$\therefore CP = \frac{1}{4}BC = \frac{1}{4}AD = \frac{1}{2}DQ$.
$\therefore \frac{AD}{QC} = \frac{DQ}{CP} = 2$.
又 $\angle D = \angle C$,
$\therefore \triangle ADQ \sim \triangle QCP$.
小锦囊 利用“两边成比例且夹角相等”判定三角形相似的步骤：(1)找到两个三角形中相等的角；(2)分别找到两个三角形中夹这个等角的两条边,并按大小顺序排列；(3)看这两组边是否成比例,若成比例,则两个三角形相似,否则不相似.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°。
∵Q是CD的中点，
∴DQ=QC=1/2CD=1/2AD。
∵BP=3PC，
∴BC=BP+PC=4PC，即PC=1/4BC=1/4AD。
∴AD/QC=AD/(1/2AD)=2，DQ/CP=(1/2AD)/(1/4AD)=2。
∴AD/QC=DQ/CP。
又
∵∠D=∠C，
∴△ADQ∽△QCP。