《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例2 如图3,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AB = 4$,$BC = 2$,将$\triangle ABC绕点B顺时针旋转到\triangle A'BC'$的位置,此时点$A'恰好在CB$的延长线上,则图中阴影部分的面积为______$4\pi$。(结果保留$\pi$)

解析 观察图形发现,整个图形可看作由$\triangle ABC和扇形BAA'$组成,非阴影部分可看作由扇形$BCC'和\triangle A'BC'$组成,则$S_{阴影}= S_{\triangle ABC}+S_{扇形BAA'}-(S_{扇形BCC'}+S_{\triangle A'BC'})$。
解 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AB = 4$,$BC = 2$,即$AB = 2BC$,
$\therefore$$\angle BAC = 30^{\circ}$。$\therefore$$\angle ABC = 60^{\circ}$。
由旋转的性质,得$\triangle ABC\cong\triangle A'BC'$。
$\therefore$$\angle A'BC' = 60^{\circ}$,$S_{\triangle ABC}= S_{\triangle A'BC'}$。
又点$A'在CB$的延长线上,
$\therefore$$\angle ABA'= \angle CBC' = 120^{\circ}$。
$\therefore$$S_{扇形BAA'}= \frac{120\pi×4^{2}}{360}= \frac{16\pi}{3}$,
$S_{扇形BCC'}= \frac{120\pi×2^{2}}{360}= \frac{4\pi}{3}$。
$\therefore$$S_{阴影}= S_{\triangle ABC}+S_{扇形BAA'}-(S_{扇形BCC'}+S_{\triangle A'BC'})= S_{扇形BAA'}-S_{扇形BCC'}= \frac{16\pi}{3}-\frac{4\pi}{3}= 4\pi$。
答案 $4\pi$
小锦囊 求不规则图形的面积时,可将其转化为几个特殊图形面积的和或差来求。

答案： $4\pi$

1. 如图4,在边长为2的等边三角形$ABC$中,$D是BC$边上的中点,以点$A$为圆心、$AD为半径作圆分别与AB$,$AC交于E$,$F$两点,则图中阴影部分的面积为(C)。

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$\frac{2\pi}{3}$

答案： C