《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

如图 1,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$a$,$b$,$c$ 分别是 $\angle A$,$\angle B$,$\angle C$ 的对边,我们把锐角 $A$ 的对边与斜边的比叫作 $\angle A$ 的正弦,记作 $\sin A$,即 $\sin A = $$\frac{a}{c}$.

答案： 对 $\frac{a}{c}$

1. 在 $Rt\triangle PMN$ 中,$\angle P = 90^{\circ}$,$\sin M = $(C).
A.$\frac{PN}{PM}$
B.$\frac{PM}{PN}$
C.$\frac{PN}{MN}$
D.$\frac{PM}{MN}$

答案： C

2. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,锐角 $A$ 的对边和斜边同时扩大 $100$ 倍,$\sin A$ 的值(C).
A.扩大 $100$ 倍
B.缩小
C.不变
D.不能确定

答案： C

3. 如图 2,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 13$,$AC = 7$,则 $\sin B = $$\frac{7}{13}$.

答案： $\frac{7}{13}$

4. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 6\ cm$,$\sin A = \frac{3}{5}$,则 $AB$ 的长是10$cm$.

答案： 10

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2\sqrt{2}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{10}}{5}$

解析 求 $\angle A$ 的正弦值,需把 $\angle A$ 放在某直角三角形中,为此,作出以下辅助线：如图 4,延长 $AC$ 交网格于点 $E$,连接 $BE$. 可得 $\triangle ABE$ 是直角三角形,再由正弦的定义求 $\sin A$ 的值.

解 $\because AE = 2\sqrt{5}$,$BE = \sqrt{5}$,$AB = 5$,
$\therefore AE^{2} + BE^{2} = AB^{2}$.
$\therefore \triangle ABE$ 是直角三角形.
$\therefore \sin A = \frac{BE}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
答案 A
小锦囊 求锐角的正弦值时,如果没有直接给出对边或斜边,一般先根据勾股定理,求出所需的边长再求解；如果没有给出图形,一般应画出符合题意的图形,弄清所求角的对边与斜边；如果题目中给出的角不是在直角三角形中,应先构造直角三角形再求解.

答案： A