《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

17. (16 分)为了加快城市发展,保障市民出行方便,某市在流经该市的河流上架起一座桥,连通南北,铺就城市繁荣之路。小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥 $ AF $ 的长。如图 14,该桥两侧河岸平行,他们在河的对岸选定一个目标作为点 $ A $,再在河岸的这一边选出点 $ B $ 和点 $ C $。分别在 $ AB $,$ AC $ 的延长线上取点 $ D $,$ E $,使得 $ DE // BC $。经测量,$ BC = 80 m $,$ DE = 100 m $,且点 $ E $ 到河岸 $ BC $ 的距离为 $ 25 m $。已知 $ AF \perp BC $ 于点 $ F $,请你根据提供的数据,帮助他们计算桥 $ AF $ 的长度。

答案： 解：
∵ $ DE // BC $，
∴ $ \angle ABC = \angle ADE $，$ \angle ACB = \angle AED $（两直线平行，同位角相等）。
∴ $ \triangle ABC \sim \triangle ADE $（两角分别相等的两个三角形相似）。
设 $ AF = h $（即桥长），点 $ E $ 到 $ BC $ 的距离为 $ 25 \, m $。
∵ $ DE // BC $ 且 $ AF \perp BC $，
∴ $ AF \perp DE $（垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条）。
设 $ AF $ 的延长线交 $ DE $ 于点 $ G $，则 $ AG $ 为 $ \triangle ADE $ 中 $ DE $ 边上的高，$ FG $ 为 $ DE $ 与 $ BC $ 之间的距离，即 $ FG = 25 \, m $。
∴ $ AG = AF + FG = h + 25 $。
∵ $ \triangle ABC \sim \triangle ADE $，
∴ 相似比 $ \frac{BC}{DE} = \frac{AF}{AG} $（相似三角形对应高的比等于相似比）。
已知 $ BC = 80 \, m $，$ DE = 100 \, m $，
∴ $ \frac{80}{100} = \frac{h}{h + 25} $。
解得：$ 80(h + 25) = 100h $
$ 80h + 2000 = 100h $
$ 20h = 2000 $
$ h = 100 $。
答：桥 $ AF $ 的长度为 $ 100 \, m $。

18. 综合与实践

【问题思考】(1)数学课上,老师出示了这样一个问题：如图 15,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle ADB = \angle ACB $,对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ O $。求证：$ \frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC} $。
【实践探究】(2)为了证明 $ \triangle OAB \sim \triangle ODC $,小明运用思维导图使解题思路显性化。请帮助小明完成解题思路的思维导图。

【问题解决】(3)智慧小组在题中增加条件“延长 $ AD $,$ BC $ 相交于点 $ E $”,如图 16。求证：$ \frac{BE}{AB} = \frac{DE}{DC} $。

(1) 证明：
∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴△AOD∽△BOC（两角对应相等，两三角形相似）。
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$（相似三角形对应边成比例）。
(2) 隐含：∠AOB=∠DOC；
思路2：两边成比例且夹角相等；
要证：$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
(3) 证明：
由(1)得$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，即$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
又∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△OAB∽△ODC（两边成比例且夹角相等，两三角形相似）。
∴∠OAB=∠ODC，即∠EAB=∠EDC。
∵∠E=∠E（公共角），
∴△EAB∽△EDC（两角对应相等，两三角形相似）。
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{DC}$（相似三角形对应边成比例），
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{DC}$。

答案：
(1) 证明：
∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴△AOD∽△BOC（两角对应相等，两三角形相似）。
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$（相似三角形对应边成比例）。
(2) 隐含：∠AOB=∠DOC；
思路2：两边成比例且夹角相等；
要证：$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
(3) 证明：
由
(1)得$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，即$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
又∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△OAB∽△ODC（两边成比例且夹角相等，两三角形相似）。
∴∠OAB=∠ODC，即∠EAB=∠EDC。
∵∠E=∠E（公共角），
∴△EAB∽△EDC（两角对应相等，两三角形相似）。
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{DC}$（相似三角形对应边成比例），
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{DC}$。