《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

3. 用配方法解方程$x^2 - 6x + 2 = 0$,配方后所得的方程是$(x - 3)^{2} = 7$。

答案： $(x - 3)^{2} = 7$（或写为$x - 3 = \pm \sqrt{7}$的形式的未完全展开形式也可，但核心是配方后的等式）

4. 若将方程$4x^2 + 6x = 7化为(x + m)^2 = n$,则$n - m = $$\frac{25}{16}$。

答案： $\frac{25}{16}$（或写为1.5625，题目要求填数字则填$\frac{25}{16}$）

5. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 4x - 8 = 0$；
(2)$3x^2 + 8x - 3 = 0$；
(3)$x(x - 6) = 2x - 25$。

答案：
(1)
$x^{2}-4x - 8=0$
移项得$x^{2}-4x = 8$
配方得$x^{2}-4x + 4=8 + 4$
即$(x - 2)^{2}=12$
开平方得$x - 2=\pm2\sqrt{3}$
解得$x_{1}=2 + 2\sqrt{3}$，$x_{2}=2 - 2\sqrt{3}$
(2)
$3x^{2}+8x - 3=0$
二次项系数化为$1$得$x^{2}+\frac{8}{3}x - 1=0$
移项得$x^{2}+\frac{8}{3}x=1$
配方得$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$
即$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$
开平方得$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}$
解得$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=- 3$
(3)
先将方程$x(x - 6)=2x - 25$化为一般形式：
$x^{2}-6x=2x - 25$
$x^{2}-8x=-25$
配方得$x^{2}-8x + 16=-25 + 16$
即$(x - 4)^{2}=-9$
因为任何实数的平方都大于等于$0$，所以此方程无实数解。

6. 已知三角形的两边长分别是$8和6$,第三边长是一元二次方程$x^2 - 16x + 60 = 0$的一个根。用配方法解此方程,可判断该三角形的形状是直角三角形或等腰三角形。

答案： 解方程$x^2 - 16x + 60 = 0$：
$x^2 - 16x = -60$
$x^2 - 16x + 64 = -60 + 64$
$(x - 8)^2 = 4$
$x - 8 = ±2$
$x_1 = 10$，$x_2 = 6$
当第三边为$10$时，$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，三角形为直角三角形；
当第三边为$6$时，三角形三边长为$6$，$6$，$8$，为等腰三角形。
直角三角形或等腰三角形

7. 把关于$x的一元二次方程2x^2 - 6x + p = 0$配方,得到$(x + m)^2 = \frac{1}{2}$。
(1)求常数$p与m$的值。
(2)求此方程的解。

答案：
(1)
首先，原方程为$2x^{2}-6x + p = 0$，变形为$x^{2}-3x=-\frac{p}{2}$。
配方得$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{p}{2}+\frac{9}{4}$，即$(x - \frac{3}{2})^{2}=\frac{9 - 2p}{4}$，也可以写成$(x+(-\frac{3}{2}))^{2}=\frac{9 - 2p}{4}$。
因为配方后得到$(x + m)^{2}=\frac{1}{2}$，所以$m =-\frac{3}{2}$。
且$\frac{9 - 2p}{4}=\frac{1}{2}$，
等式两边同时乘以$4$得$9 - 2p = 2$，
移项可得$-2p=2 - 9=-7$，
解得$p=\frac{7}{2}$。
(2)
由$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{1}{2}$，
开平方得$x-\frac{3}{2}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$x=\frac{3 + \sqrt{2}}{2}$；
当$x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$。
综上，$p=\frac{7}{2}$，$m =-\frac{3}{2}$；方程的解为$x_{1}=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{2}}{2}$。

8. 理解与运用
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值。
例：求代数式$a^2 - 2a + 5$的最小值。
解题示例
解：因为$a^2 - 2a + 5 = a^2 - 2a + 1 + 4 = (a - 1)^2 + 4$,又$(a - 1)^2 \geq 0$,
所以$a^2 - 2a + 5 = (a - 1)^2 + 4 \geq 4$。
故代数式$a^2 - 2a + 5的最小值是4$。
方法运用
(1)仿照上述方法求代数式$x^2 + 10x + 7$的最小值。
(2)代数式$-a^2 - 8a + 16$有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值。

答案：
(1)
$x^{2}+10x + 7=x^{2}+10x+25 - 25 + 7=(x + 5)^{2}-18$。
因为$(x + 5)^{2}\geq0$，所以$(x + 5)^{2}-18\geq - 18$。
故代数式$x^{2}+10x + 7$的最小值是$-18$。
(2)
$-a^{2}-8a + 16=-(a^{2}+8a)+16=-(a^{2}+8a + 16)+16 + 16=-(a + 4)^{2}+32$。
因为$(a + 4)^{2}\geq0$，所以$-(a + 4)^{2}\leq0$，则$-(a + 4)^{2}+32\leq32$。
所以代数式$-a^{2}-8a + 16$有最大值，最大值为$32$。