《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 如图 3,给出下列条件：① $\angle B = \angle ACD$；② $\angle ADC = \angle ACB$；③ $\frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BC}$；④ $AC^2 = AD \cdot AB$. 其中能够判定△ABC∽△ACD 的有(C).

A.1 个
B.2 个

 

C.3 个
D.4 个

答案： C

2. 如图 4,△ABC 与△BDE 都是等边三角形,点 $D$ 在边 $AC$ 上(不与点 $A$,$C$ 重合),$DE$ 与 $AB$ 相交于点 $F$,则下列结论错误的是(D).
A.△BCD∽△BEF
B.△BCD∽△DAF
C.△BDF∽△BAD
D.△BCD∽△BDE

答案： D

3. 如图 5,在△ABC 中,$AD \perp BC$ 于点 $D$,点 $E$ 在 $AD$ 上,且 $\angle ECD = \angle B$. 若 $AB = 10$,$BD = 2CD$,则 $EC$ 的长是5.

答案： 5

4. 如图 6,在矩形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是 $AB$,$AD$ 的中点,且 $EC \perp EF$.
(1)求证：△AEF∽△BCE.
(2)已知 $AC = 2\sqrt{3}$,求 $AB$ 的长.

答案：
(1)
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore\angle DAB=\angle B = 90^{\circ}$，
$\because E$，$F$分别是$AB$，$AD$的中点，
$\therefore AF = \frac{1}{2}AD$，$AE=\frac{1}{2}AB$，$BE=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{AB}$，
$\because EC\perp EF$，
$\therefore\angle FEA+\angle BEC = 90^{\circ}$，
$\because\angle BEC+\angle BCE = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle FEA=\angle BCE$，
$\because\angle FAE=\angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle AEF\sim\triangle BCE$。
(2)
由（1）知$\triangle AEF\sim\triangle BCE$，
$\therefore\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，
$\because AF=\frac{1}{2}AD$，$AE = BE=\frac{1}{2}AB$，
设$AD = 2x$，$AB = 2y$，则$AF=x$，$AE = BE=y$，$BC = 2x$，
$\therefore\frac{x}{y}=\frac{y}{2x}$，
$\therefore2x^{2}=y^{2}$，
$\therefore y=\sqrt{2}x$，
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 2\sqrt{3}$，
根据勾股定理$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，
即$(2\sqrt{3})^{2}=(2y)^{2}+(2x)^{2}$，
$12 = 4y^{2}+4x^{2}$，
把$y=\sqrt{2}x$代入$12 = 4y^{2}+4x^{2}$得：
$12=4×(\sqrt{2}x)^{2}+4x^{2}$，
$12 = 8x^{2}+4x^{2}$，
$12x^{2}=12$，
$x^{2}=1$，
$\because x\gt0$，
$\therefore x = 1$，
$\therefore AB=2y = 2\sqrt{2}$。
综上，答案为：
(1)证明过程如上述；
(2)$AB$的长为$2\sqrt{2}$。

1. 下列条件能判定两个等腰三角形相似的是(B).
A.都含有一个 $80^{\circ}$ 的内角
B.都含有一个 $60^{\circ}$ 的内角
C.都含有一个 $45^{\circ}$ 的内角
D.都含有一个 $30^{\circ}$ 的内角

答案： B

2. 结合图形及所给条件,下列选项中无相似三角形的是( ).

A.$\angle ADE = \angle C$
B.$\angle ACD = \angle B$
C.$\angle B = \angle AEB$
D.$AB // DE$

答案： C

3. 如图 7,在△ABC 中,点 $D$ 在边 $AB$ 上,若 $BC = 3$,$BD = 2$,且 $\angle BCD = \angle A$,则线段 $AD$ 的长为(B).

A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.$\frac{9}{2}$

答案： B