《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 已知△ABC∽△A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime},且 $AB = 3$,$A^{\prime}B^{\prime} = 5$,$AD$,$A^{\prime}D^{\prime}$ 分别为△ABC,△A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}的角平分线,则 $AD : A^{\prime}D^{\prime} =$(D).
A.$5 : 3$
B.$8 : 5$
C.$8 : 3$
D.$3 : 5$

答案： D

2. 两个相似三角形的对应高之比为 $1 : 2$,那么它们的对应中线之比为(A).
A.$1 : 2$
B.$1 : 3$
C.$1 : 4$
D.$1 : 8$

答案： A

3. 如图 6,在△ABC 中,$D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点,若△ADE 的面积为 4,则△ABC 的面积为(D).

A.8
B.12
C.14
D.16

答案： D

4. 已知△ABC∽△A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime},它们的相似比是 $2 : 3$,△ABC 的周长为 16,△A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}的面积为 12,则△ABC 的面积为16/3,△A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}的周长为24.

答案： 16/3,24

5. 已知在△ABC 中,$AB = 5$,$BC = 7$,$AC = 10$,△ABC∽△DEF,且△DEF 的周长为 33. 求△DEF 的各边长.

答案： 答题卡：
由题知$\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup DEF$，
根据相似三角形性质，相似三角形对应边成比例，且周长之比等于相似比，
设$\bigtriangleup ABC$的周长为$C_1$，$\bigtriangleup DEF$的周长为$C_2$，
$C_1 = AB + BC + AC = 5 + 7 + 10 = 22$，
因为$C_2 = 33$，
所以相似比$k=\frac{C_2}{C_1}=\frac{33}{22}=\frac{3}{2}$，
因为$AB = 5$，$BC = 7$，$AC = 10$，
所以$DE=\frac{3}{2}×5 = 7.5$，
$EF=\frac{3}{2}×7 = 10.5$，
$DF=\frac{3}{2}×10 = 15$。
综上，$\bigtriangleup DEF$的各边长为$7.5$，$10.5$，$15$。

6. 在△ABC 中,$AB = 6$,$AC = 5$,点 $D$,$E$ 分别在边 $AB$,$AC$ 上,且 $S_{\triangle ADE} : S_{四边形BCED} = 1 : 8$. 若△ADE∽△ABC,则 $AD$ 的长是2；若△ADE∽△ACB,则 $AD$ 的长是$\frac{5}{3}$.

答案： 2；$\frac{5}{3}$

7. 如图 7,在锐角三角形 $ABC$ 中,点 $D$,$E$ 分别在边 $AC$,$AB$ 上,$AG \perp BC$ 于点 $G$,$AF \perp DE$ 于点 $F$,$\angle EAF = \angle GAC$.
(1)求证：△ADE∽△ABC.
(2)已知 $AD = 3$,$AB = 5$,求 $\frac{AF}{AG}$ 的值.

答案：
(1)见证明过程；
(2)3/5

8. 如图 8,将矩形 $ABCD$ 折叠,使得顶点 $B$ 与边 $CD$ 上的点 $P$ 重合,折痕为 $AO$,已知 $AD = 8$.
(1)求证：△OCP∽△PDA.
(2)若△OCP 与△PDA 的面积比为 $1 : 4$,则 $DC$ 的长是10.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，CD=AB，AD=BC。
由折叠性质得：∠APO=∠B=90°，
∴∠APD+∠OPC=90°。
在Rt△PDA中，∠APD+∠PAD=90°，
∴∠OPC=∠PAD。
∵∠C=∠D=90°，∠OPC=∠PAD，
∴△OCP∽△PDA。
(2)10