《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

6. 已知抛物线 $ y = a(x - 3)^2 + 2 $ 经过点 $ (1, -2) $。
(1)$ a = $$-1$。
(2)若点 $ A(m, y_1) $,$ B(n, y_2)(m ＜ n ＜ 3) $ 都在该抛物线上,试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小。
$y_1 ＜ y_2$

答案：
(1) $-1$
(2) $y_1 ＜ y_2$

7. 如图 3,抛物线 $ y = (x - 1)^2 - 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,抛物线的顶点为 $ C $。
(1)求 $ \triangle ABC $ 的面积。
(2)点 $ P $ 是抛物线上一动点,当 $ \triangle ABP $ 的面积为 4 时,求所有符合条件的点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)
令$y = 0$，则$(x - 1)^2 - 4 = 0$，
即$(x - 1)^2 = 4$，
$x - 1 = \pm 2$，
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
所以$A(-1,0)$，$B(3,0)$，则$AB = 4$。
由$y = (x - 1)^2 - 4$可知顶点$C$的坐标为$(1,-4)$。
$\triangle ABC$中$AB$边上的高为$4$，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2} × AB × |y_C| = \frac{1}{2} × 4× 4 = 8$。
(2)
设$P(x,y)$，因为$S_{\triangle ABP} = 4$，$AB = 4$，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2} × AB× |y| = 4$，
即$\frac{1}{2} × 4× |y| = 4$，
解得$y = \pm 2$。
当$y = 2$时，$(x - 1)^2 - 4 = 2$，
$(x - 1)^2 = 6$，
$x - 1 = \pm \sqrt{6}$，
$x_1 = 1 + \sqrt{6}$，$x_2 = 1 - \sqrt{6}$。
当$y = -2$时，$(x - 1)^2 - 4 = -2$，
$(x - 1)^2 = 2$，
$x - 1 = \pm \sqrt{2}$，
$x_3 = 1 + \sqrt{2}$，$x_4 = 1 - \sqrt{2}$。
所以$P$点坐标为$(1 + \sqrt{6},2)$或$(1 - \sqrt{6},2)$或$(1 + \sqrt{2}, - 2)$或$(1 - \sqrt{2}, - 2)$。

1. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a, b, c $ 是常数,$ a \neq 0) $ 的图象是抛物线,对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$,顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

答案： 抛物线，$x=-\frac{b}{2a}$，$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

2. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的性质：
若 $ a ＞ 0 $,则图象开口向上,当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
若 $ a ＜ 0 $,则图象开口向下,当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： 上，减小，增大，下，增大，减小

1. 二次函数 $ y = x^2 + 6x + 1 $ 的图象开口向上,将其化为 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式为$y = (x + 3)^{2} - 8$,顶点坐标为$(-3, -8)$。

答案： 上；$y = (x + 3)^{2} - 8$；$(-3, -8)$

2. 二次函数 $ y = -x^2 + 4x $ 的图象的对称轴为直线$x=2$,其最大值为$4$。

答案： $x=2$，$4$