《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例 3 如图 3,$\triangle ABC内接于\odot O$,$\angle C = 45^{\circ}$,$AB = 4$. 求$\odot O$的半径.

 

答案： 解：
方法 1：
连接 $OA$, $OB$，设 $\odot O$ 的半径为 $r$。
$\because \angle C = 45°$，
$\therefore \angle AOB = 2\angle C = 90°$。
在 $Rt\triangle ABO$ 中，由勾股定理，得 $OA^2 + OB^2 = AB^2$，
即 $r^2 + r^2 = 4^2$，
$2r^2 = 16$，
$r^2 = 8$，
$r = \pm 2\sqrt{2}$（负值舍去）。
$\therefore \odot O$ 的半径为 $2\sqrt{2}$。
方法 2：
作直径 $AD$，连接 $BD$，设 $\odot O$ 的半径为 $r$。
$\because AD$ 为 $\odot O$ 的直径，
$\therefore \angle ABD = 90°$，$AD = 2r$。
又 $\angle D = \angle C = 45°$，
$\therefore BD = AB = 4$。
在 $Rt\triangle ABD$ 中，由勾股定理，得 $AB^2 + BD^2 = AD^2$，
即 $4^2 + 4^2 = (2r)^2$，
$32 = 4r^2$，
$r^2 = 8$，
$r = \pm 2\sqrt{2}$（负值舍去）。
$\therefore \odot O$ 的半径为 $2\sqrt{2}$。

1. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于$60^{\circ}$”时,应假设(C).
A.三角形中没有一个角大于$60^{\circ}$
B.三角形中有一个角大于$60^{\circ}$
C.三角形中三个角都大于$60^{\circ}$
D.三角形中有一个角小于$60^{\circ}$

答案： C

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： B

3. 如图 7,$\triangle ABC内接于\odot O$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AB = AC = 4$,$BD为\odot O$的直径,则$\odot O$的半径为4.
 

答案： 4

4. 如图 8,在平面直角坐标系中,$\odot D的一段圆弧经过A(0,4)$,$B(4,4)$,$C(6,2)$三点.
(1)在图 8 中确定圆心$D$的位置,点$D$的坐标为(2,0),$\odot D$的半径为$2\sqrt{5}$.
(2)点$(7,0)在\odot D$外(填“上”“内”或“外”).

答案： 解:
(1)(2,0) $2\sqrt{5}$ (图略)
(2)外