《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

3. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}-4x+1= 0$的两个实数根。求$(x_{1}+x_{2})^{2}÷(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}})$的值。

答案： 4

1. 若一元二次方程$x^{2}-4x-3= 0的两根分别是m,n$,则下列结论正确的是(D)。
A.$m+n= -4,mn= 3$
B.$m+n= -4,mn= -3$
C.$m+n= 4,mn= 3$
D.$m+n= 4,mn= -3$

答案： D

2. 若关于$x的一元二次方程x^{2}+bx+c= 0的两个实数根分别为x_{1}= -2,x_{2}= 4$,则$b+c$的值是(A)。
A.$-10$
B.$10$
C.$-6$
D.$6$

答案： A。

3. 若$\alpha,\beta是关于x的一元二次方程x^{2}-2x+m= 0$的两实数根,且$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{2}{3}$,则$m$等于(B)。
A.$-2$
B.$-3$
C.$2$
D.$3$

答案： B

4. 若一个平行四边形的两条邻边的长分别是方程$x^{2}-7x+1= 0$的两根,则该平行四边形的周长是14。

答案： 14

5. 设$x_{1},x_{2}是关于x的一元二次方程x^{2}-mx+m-1= 0$的两个实数根。若$x_{1}+x_{2}= 3$,则$x_{1}x_{2}= $2。

答案： 2（题目是填空题，直接填数值2即可）

6. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-4x-1+3a= 0$有两个实数根。
(1)求实数$a$的取值范围。
(2)已知$a$为正整数,方程的两个实数根分别为$\alpha,\beta$,求$(\alpha^{2}-1)(\beta^{2}-1)$的值。

答案： 答题卡：
(1)
对于一元二次方程 $x^{2} - 4x - 1 + 3a = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$，
其中，$a = 1, b = -4, c = -1 + 3a$，
代入得：
$\Delta = (-4)^{2} - 4(1)(-1 + 3a) = 16 - 12a + 4 = 20 - 12a$，
由题意，方程有两个实数根，所以：
$\Delta \geq 0$，
即：
$20 - 12a \geq 0$，
解得：
$a \leq \frac{5}{3}$。
(2)
由
(1)知，$a \leq \frac{5}{3}$，
因为$a$为正整数，所以 $a = 1$，
将$a = 1$代入原方程得：
$x^{2} - 4x + 2 = 0$，
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$\alpha + \beta = 4$，
$\alpha\beta = 2$，
因为$\alpha^{2} - 4\alpha + 2 = 0$，
所以$\alpha^{2} = 4\alpha - 2$，
同理$\beta^{2} = 4\beta - 2$，
所以：
$(\alpha^{2} - 1)(\beta^{2} - 1) = (4\alpha - 3)(4\beta - 3)$
$= 16\alpha\beta - 12(\alpha + \beta) + 9$
$= 16 × 2 - 12 × 4 + 9$
$= -7$
综上，$(\alpha^{2} - 1)(\beta^{2} - 1)$的值为$-7$。

7. 已知实数$a,b满足等式a^{2}-2a-1= 0,b^{2}-2b-1= 0$,求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值。

答案： $2$或$-6$