《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 用因式分解法解方程$x^{2}-3x= 0$时,因式分解后得(C)。
A.$x(x-3)$
B.$x(x+3)= 0$
C.$x(x-3)= 0$
D.$x-3= 0$

答案： C

2. 解方程$(3x-1)^{2}= 3x-1$,较简便的方法是(D)。
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

答案： D

3. 方程$x(x-2)= 3x$的根为(B)。
A.$x= 5$
B.$x_{1}= 0,x_{2}= 5$
C.$x_{1}= 2,x_{2}= 0$
D.$x_{1}= 0,x_{2}= -5$

答案： B

4. 若$a,b,c为\triangle ABC$的三边,且$a,b,c满足(a-b)(a-c)= 0$,则$\triangle ABC$的形状为等腰三角形。

答案： 等腰三角形

5. 用因式分解法解下列方程：
(1)$(3x-1)^{2}= (x+1)^{2}$；
(2)$(x+3)^{2}= 2x+6$。

答案：
(1)
解：
移项得$(3x - 1)^{2}-(x + 1)^{2}=0$，
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a = 3x-1$，$b=x + 1$，则有：
$[(3x - 1)+(x + 1)][(3x - 1)-(x + 1)]=0$
$(3x - 1+x + 1)(3x - 1 - x - 1)=0$
$(4x)(2x - 2)=0$
即$8x(x - 1)=0$
则$8x=0$或$x - 1=0$
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=1$。
(2)
解：
移项得$(x + 3)^{2}-2(x + 3)=0$
提取公因式$(x + 3)$得$(x + 3)(x + 3-2)=0$
即$(x + 3)(x + 1)=0$
则$x + 3=0$或$x + 1=0$
解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$。

6. 对于实数$a,b$,我们定义一种运算“※”：$a※b= a^{2}-ab$,例如$1※3= 1^{2}-1×3$。若$x※4= 0$,则$x= $0或4。

答案： 0或4

7. 将一个边长为$x的小正方形的每条边长增加5$得到一个大正方形,且大正方形的面积是小正方形的$4$倍。根据题意列方程为$(x + 5)^{2} = 4x^{2}$,解得小正方形的边长为$5$。

答案： 答题卡：
根据题意，大正方形的面积为小正方形面积的4倍，列方程：
$(x + 5)^{2} = 4x^{2}$。
展开并整理得：
$3x^{2} - 10x - 25 = 0$。
因式分解得：
$(3x + 5)(x - 5) = 0$。
解得：
$x = 5$。
（负值$x = -\frac{5}{3}$不符合实际情况，舍去）。
故答案为：$(x + 5)^{2} = 4x^{2}$；$5$

8. 理解与运用
【解题示例】
解方程$x^{2}-|x|-2= 0$。
解：当$x\geq0$时,原方程可化为$x^{2}-x-2= 0$。解得$x_{1}= 2,x_{2}= -1＜0$(舍去)。
当$x＜0$时,原方程可化为$x^{2}+x-2= 0$。解得$x_{1}= -2,x_{2}= 1＞0$(舍去)。
所以原方程的解为$x_{1}= 2,x_{2}= -2$。
【方法运用】
仿照上述方法解方程$x^{2}-|x-1|-1= 0$。

答案： 当$x - 1 \geq 0$，即$x \geq 1$时：
原方程$x^{2} - |x - 1| - 1 = 0$可化为$x^{2} - (x - 1) - 1 = 0$，
即$x^{2} - x = 0$，
提取公因式$x$得$x(x - 1) = 0$，
解得$x_{1} = 0$（舍去，因为不满足$x\geq1$），$x_{2} = 1$。
当$x - 1 ＜ 0$，即$x ＜ 1$时：
原方程$x^{2} - |x - 1| - 1 = 0$可化为$x^{2} + (x - 1) - 1 = 0$，
即$x^{2} + x - 2 = 0$，
因式分解得$(x + 2)(x - 1) = 0$，
解得$x_{1} = - 2$，$x_{2} = 1$（舍去，因为不满足$x ＜ 1$）。
所以原方程的解为$x_{1} = 1$，$x_{2} = - 2$。