《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

17. (16分)如图14,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AB= 10$,$BC= 6$,半径为2的$\odot O分别与AC$,$BC相切于点E$,$D$。
(1)求证：$AB是\odot O$的切线。
(2)求$\angle AOB$的度数和图中阴影部分的面积(结果保留$\pi$)。

答案：
(1) 证明：
过 $O$ 作 $OF \perp AB$ 于 $F$。
在 $\mathrm{Rt} \triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$BC = 6$，
根据勾股定理，$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$。
因为 $\odot O$ 分别与 $AC$，$BC$ 相切于点 $E$，$D$，
所以 $OE \perp AC$，$OD \perp BC$，
且 $OE = OD = 2$。
由于 $OE \perp AC$，$AC \perp BC$，$OD \perp BC$，
则四边形 $OECD$ 是正方形，
所以 $CE = CD = 2$，
$AE = AC - CE = 8 - 2 = 6$，
$BD = BC - CD = 6 - 2 = 4$。
在 $\mathrm{Rt} \triangle AOE$ 和 $\mathrm{Rt} \triangle AOF$ 中，
$OE = OF = 2$，$OA = OA$，
所以 $\mathrm{Rt} \triangle AOE \cong \mathrm{Rt} \triangle AOF (HL)$，
因此 $OF \perp AB$，
所以 $AB$ 是 $\odot O$ 的切线。
(2) 在 $\mathrm{Rt} \triangle BOD$ 和 $\mathrm{Rt} \triangle BOF$ 中，
$OD = OF = 2$，$OB = OB$，
所以 $\mathrm{Rt} \triangle BOD \cong \mathrm{Rt} \triangle BOF (HL)$，
因此 $\angle BOD = \angle BOF$。
同理，$\angle AOE = \angle AOF$。
所以 $\angle AOB = \angle BOF + \angle AOF = \frac{1}{2} × (360^{\circ} - 90^{\circ} × 2) = 135^{\circ}$。
$S_{阴影} = S_{\triangle AOB} - S_{扇形 OEF}$
$ = \frac{1}{2} × AB × OF - \frac{135\pi × 2^{2}}{360} $
$= \frac{1}{2} × 10 × 2 - \frac{3\pi}{2} $
$= 10 - \frac{3\pi}{2}$
综上所述，$\angle AOB = 135^{\circ}$，阴影部分的面积为$10 - \frac{3\pi}{2}$。

18. 综合与探究
数学探究活动课上,小红针对九年级上册人教版数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究。
【回顾教材】如图15,$A$,$P$,$B$,$C是\odot O$上的四个点,$\angle APC= \angle CPB= 60^{\circ}$。判断$\triangle ABC$的形状,并证明你的结论。小红解答如下：
解：$\triangle ABC$是等边三角形。
证明：在$\odot O$中,$\because\angle APC= \angle CPB= 60^{\circ}$,
……
(1)请你帮她完成后面的解答过程。
【深入探究】(2)小红在完成此题后,她发现线段$PA+PB= PC$,她的发现正确吗？请判断并说明理由。
【拓展探究】(3)如图16,若点$M是PC$的中点,点$P在\odot O$上移动的过程中,小红发现线段$BM$的长度存在最小值。已知$\odot O$的半径为2,求线段$BM$的最小值。

答案：
(1) 等边三角形；
(2) 正确；
(3) $\sqrt{7} - 1$。