《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

14. 如图 6,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过 $ □ ABCD $ 对角线的交点 $ P $,已知点 $ A $,$ C $,$ D $ 在坐标轴上,$ BD \perp DC $,$ □ ABCD $ 的面积为 6,则 $ k = $-3。

答案： -3

15. (14 分)已知双曲线 $ y = -\frac{4}{x} $ 上一点 $ P $ 的横坐标为 $ -\frac{2}{3} $,点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点是点 $ Q $,双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 经过点 $ Q $。
(1)求 $ k $ 的值。
(2)说明双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 所在的象限以及在每个象限内 $ y $ 随 $ x $ 的增大而变化的情况。

答案：
(1) 当 $ x = -\frac{2}{3} $ 时，代入 $ y = -\frac{4}{x} $，得 $ y = -\frac{4}{-\frac{2}{3}} = 6 $，则点 $ P $ 的坐标为 $ \left(-\frac{2}{3}, 6\right) $。
点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ Q $ 的坐标为 $ \left(\frac{2}{3}, 6\right) $。
因为双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 经过点 $ Q $，所以 $ 6 = \frac{k}{\frac{2}{3}} $，解得 $ k = 6 × \frac{2}{3} = 4 $。
(2) 由
(1) 知 $ k = 4 ＞ 0 $，所以双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 位于第一、三象限，在每个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

16. (14 分)如图 7,一次函数 $ y = mx + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于 $ A(3, 1) $,$ B(-\frac{1}{2}, n) $ 两点。
(1)求该反比例函数的解析式。
(2)求 $ n $ 的值及该一次函数的解析式。

答案：
(1) 因为点 $ A(3,1) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上，所以将 $ A(3,1) $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $，得 $ 1 = \frac{k}{3} $，解得 $ k = 3 $，故反比例函数的解析式为 $ y = \frac{3}{x} $。
(2) 因为点 $ B\left(-\frac{1}{2}, n\right) $ 在反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象上，所以将 $ B\left(-\frac{1}{2}, n\right) $ 代入 $ y = \frac{3}{x} $，得 $ n = \frac{3}{-\frac{1}{2}} = -6 $，即 $ n = -6 $，所以点 $ B $ 的坐标为 $ \left(-\frac{1}{2}, -6\right) $。
因为一次函数 $ y = mx + b $ 的图象经过点 $ A(3,1) $ 和 $ B\left(-\frac{1}{2}, -6\right) $，所以将这两点坐标代入一次函数解析式，得：
$\begin{cases}3m + b = 1 \\-\frac{1}{2}m + b = -6\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去 $ b $：
$3m + b - \left(-\frac{1}{2}m + b\right) = 1 - (-6)$
$3m + b + \frac{1}{2}m - b = 7$
$\frac{7}{2}m = 7$
解得 $ m = 2 $。
将 $ m = 2 $ 代入 $ 3m + b = 1 $，得 $ 3×2 + b = 1 $，即 $ 6 + b = 1 $，解得 $ b = -5 $。
所以一次函数的解析式为 $ y = 2x - 5 $。
综上，
(1) 反比例函数的解析式为 $ y = \frac{3}{x} $；
(2) $ n = -6 $，一次函数的解析式为 $ y = 2x - 5 $。