《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

6. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+(m + 2)x + m = 0$. 请你利用根的判别式判断该方程根的情况.

答案： 对于一元二次方程$x^{2}+(m + 2)x + m = 0$，其中$a=1$，$b=m + 2$，$c=m$。
根的判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，代入可得：
$\begin{aligned}\Delta&=(m + 2)^{2}-4×1× m\\&=m^{2}+4m + 4 - 4m\\&=m^{2}+4\end{aligned}$
因为$m^{2}\geq0$，所以$m^{2}+4\geq4＞0$，即$\Delta＞0$。
结论：该方程有两个不相等的实数根。

7. 已知关于$x的一元二次方程b(x^{2}-1)-2ax + c(x^{2}+1)= 0$有两个相等的实数根,判断以$a$,$b$,$c$为三边长构成的三角形的形状,并说明理由.

答案： 整理方程：$b(x^2 - 1) - 2ax + c(x^2 + 1) = 0$
展开并合并同类项：$(b + c)x^2 - 2ax + (c - b) = 0$
∵方程有两个相等实数根，
∴判别式$\Delta = 0$
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$，$\Delta = B^2 - 4AC$
其中$A = b + c$，$B = -2a$，$C = c - b$
$\Delta = (-2a)^2 - 4(b + c)(c - b) = 4a^2 - 4(c^2 - b^2) = 0$
化简得：$a^2 + b^2 = c^2$
由勾股定理逆定理，以$a$，$b$，$c$为三边长的三角形是直角三角形
结论：直角三角形

1. 当$\Delta\geq0$时,方程$ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)的实数根可写为x= $$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$的形式,这个式子叫作一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$的求根公式。

答案： $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

2. 解一个具体的一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫作公式法。

答案： 求根公式

1. 用公式法解方程$2x^{2}-3x-1= 0$,先确定$a,b,c$的值,正确的是(A)。
A.$a= 2,b= -3,c= -1$
B.$a= -2,b= 3,c= 1$
C.$a= -2,b= -3,c= -1$
D.$a= 2,b= 3,c= -1$

答案： A

2. 若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$能用公式法解得实数根,则$b^{2}-4ac$$\geq$$0$。(填“$＞$”“$\geq$”“$＜$”或“$\leq$”)

答案： $\geq$

3. 用公式法解方程$x^{2}+x-1= 0$,则$\Delta=$5,解得$x_{1}= $______$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}= $______$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$。

答案： $\Delta = 5$，$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$（按顺序填写答案内容对应的位置）

例 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-10x+9= 0$；
(2)$x^{2}-1= 2x$。
 

答案：
(1)对于方程$x^{2}-10x + 9=0$，$a = 1$，$b=-10$，$c = 9$。
$\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4×1×9=100 - 36=64＞0$。
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{10\pm8}{2}$，
即$x_{1}=\frac{10 + 8}{2}=9$，$x_{2}=\frac{10-8}{2}=1$。
(2)将方程$x^{2}-1 = 2x$化为一般形式：$x^{2}-2x-1=0$，
$a = 1$，$b=-2$，$c=-1$。
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-1)=4 + 4=8＞0$。
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$，
即$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$。