《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 下列函数属于二次函数的是(B)。
A.$ y = 3x - 1 $
B.$ y = 3x^{2} - 1 $
C.$ y = \frac{2}{x} $
D.$ y = x^{3} + 2x - 3 $

答案： B

2. $ y = 2x^{2} + 4x + 3 $ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 2，4，3。

答案： 2，4，3（题目问的是各系数分别是什么，按照顺序填写数字即可）

3. 已知矩形的周长为 $ 30 $,设这个矩形的一边长为 $ x $,则另一边长为$15 - x$,该矩形的面积 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为$y = - x^{2} + 15x$。

答案： 答题卡作答：
另一边长为：$15 - x$。
面积 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为：$y = x(15 - x) = - x^{2} + 15x$。

例1 当 $ m $ 为何值时,函数 $ y = (m - 1)x^{m^{2} + 1} + 2x - 3 $ 是二次函数？
 

答案： 答题卡作答：
要使函数$y = (m - 1)x^{m^{2} + 1} + 2x - 3$是二次函数，需满足：
$\begin{cases}m^{2} + 1 = 2,\\m - 1\neq 0.\end{cases}$
由$m^{2} + 1 = 2$，得$m^{2} = 1$，
解得$m = \pm 1$，
又因为$m - 1\neq 0$，所以$m\neq 1$，
综上，$m = - 1$。
所以当$m = - 1$时，函数$y = (m - 1)x^{m^{2} + 1} + 2x - 3$是二次函数。

例2 如图1,小李家用 $ 40m $ 长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园。

(1)写出这个菜园的面积 $ y(m^{2}) $ 与垂直于墙的边长 $ x(m) $ 之间的关系式。
(2)判断上述函数是不是二次函数。
(3)确定自变量 $ x $ 的取值范围。
 

答案：
(1) 解：
平行于墙的边长为 $(40 - 2x) \, m$，
根据矩形的面积公式，得：
$y = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$
故 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为：
$y = -2x^2 + 40x$
(2) 解：
由二次函数的定义，函数 $y = -2x^2 + 40x$ 是二次函数。
(3) 解：
由题意，得以下不等式组：
$\begin{cases}x ＞ 0, \\40 - 2x ＞ 0.\end{cases}$
解不等式组得：
$0 ＜ x ＜ 20$
故自变量 $x$ 的取值范围为 $0 ＜ x ＜ 20$。