《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转$180^{\circ}$,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫作对称中心,这两个图形在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.

答案： $180^{\circ}$，重合，中心，对称

2. 中心对称的性质：
(1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分；
(2)中心对称的两个图形是全等图形.

答案：
(1)对称中心，对称中心；
(2)全等

3. 中心对称的判定：如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形一定关于这一点中心对称.

答案： 平分

1. 如图1,在$□ ABCD$中,$\triangle AOD可以看作是由\triangle$BOC绕点$O$旋转180°得到的,则$\triangle AOD与\triangle$COB成中心对称,对称中心是O.
 

答案： BOC，180，COB，O

2. 如图2,$\triangle ABC与\triangle AB'C'关于点A$对称,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AC = 1$.
(1)$\angle B' = $30°,$AC' = $1,$AB' = $2.
(2)点A平分$BB'$,则$BB' = $4$AB' = $2.

答案：
(1)30，1，2；
(2)A，4，2

例 如图3,已知$\triangle ABC和点O$.在图中画出$\triangle A'B'C'$,使$\triangle A'B'C'与\triangle ABC关于点O$对称.写出两个三角形中的对称点、相等的线段和相等的角.


 
对称点：
点$A$和点$A'$，点$B$和点$B'$，点$C$和点$C'$。
相等的线段：
$AB = A'B'$，$BC = B'C'$，$AC = A'C'$。
相等的角：
$\angle BAC = \angle B'A'C'$，$\angle ABC = \angle A'B'C'$，$\angle ACB = \angle A'C'B'$。

答案： 对称点：
点$A$和点$A'$，点$B$和点$B'$，点$C$和点$C'$。
相等的线段：
$AB = A'B'$，$BC = B'C'$，$AC = A'C'$。
相等的角：
$\angle BAC = \angle B'A'C'$，$\angle ABC = \angle A'B'C'$，$\angle ACB = \angle A'C'B'$。

1. 图5的四组图形中,成中心对称的有( ).

A.1组
B.2组
C.3组
D.4组

答案： C

2. 如图6,已知四边形$ABCD和点O$.请画出四边形$A'B'C'D'$,使四边形$A'B'C'D'与四边形ABCD关于点O$成中心对称.

答案： 1. 连接并延长 $AO$ 到点 $A^{\prime}$，使 $A^{\prime}O = AO$，得到点 $A$ 的对称点 $A^{\prime}$；
2. 连接并延长 $BO$ 到点 $B^{\prime}$，使 $B^{\prime}O = BO$，得到点 $B$ 的对称点 $B^{\prime}$；
3. 连接并延长 $CO$ 到点 $C^{\prime}$，使 $C^{\prime}O = CO$，得到点 $C$ 的对称点 $C^{\prime}$；
4. 连接并延长 $DO$ 到点 $D^{\prime}$，使 $D^{\prime}O = DO$，得到点 $D$ 的对称点 $D^{\prime}$；
5. 顺次连接 $A^{\prime}B^{\prime}$、$B^{\prime}C^{\prime}$、$C^{\prime}D^{\prime}$、$D^{\prime}A^{\prime}$，则四边形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 为所求作的四边形。

3. 如图7,已知矩形$ABCD和矩形AEFG关于点A$对称,连接$DE$,$EG$,$BG$,$DB$,求证：四边形$BDEG$是菱形.

答案： 证明：
1.
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A对称，
∴点B与点E关于A对称，点D与点G关于A对称，
∴A为BE中点，A为DG中点，即BE与DG互相平分，
∴四边形BDEG是平行四边形。
2.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC。
3. 由中心对称性质，得AB=AE，AD=AG。
4. 在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²；
在Rt△ADE中，AE=AB，∠DAE=∠BAD=90°，
∴DE²=AD²+AE²=AD²+AB²=BD²，
∴DE=BD。
5.
∵四边形BDEG是平行四边形，且BD=DE，
∴四边形BDEG是菱形。
结论：四边形BDEG是菱形。

1. 图8中的两个三角形关于某点成中心对称,则该点是( ).

A.点$C$
B.线段$BC$的中点
C.点$D$
D.线段$FC$的中点

答案： C